06-代数系统的一般概念

代数系统

封闭性

封闭性：对于集合S及S上定义的运算*， 如果其中任意两个元素在进行*运算后,结果仍在集合S中， 则称集合S对运算*使封闭的。

一元运算：S为集合，函数$f:S \rarr S $ 称为S上的一元运算

二元运算：S为集合， 函数\(f:S\times S \rarr S\) 称为S上的二元运算，简称二元运算。

n元运算：S为集合，一个从\(A^n\)到B的映射，称为集合S上的一个n元运算。 如果B包含于A，则该n元运算是封闭的。

参与运算的对象称为运算数或操作数。

参与的个数可以是任意的，个数为n时对应的运算称为n元运算。

代数系统

一个非空集合A， 连同若干个定义在该集合上的运算\(f_1,f_2,...,f_k\) 所组成的系统，称为一个代数系统，简称代数。 记作：\(<A,f_1,f_2,...,f_n>\)

运算表

一元、二元运算表

二元运算的运算表中，表的第一列是第一个操作数（左），表的第一行是第二个操作数（右）。

Ｓ＝｛１，２｝，　P(S)={0,{1},{2},{1,2}}

二元：对称差运算

\(\bigoplus\)	\(\empty\)	\(\{1\}\)	\(\{2\}\)	\(\{1,2\}\)
\(\empty\)	\(\empty\)	\(\{1\}\)	\(\{2\}\)	\(\{1,2\}\)
\(\{1\}\)	\(\{1\}\)	\(\empty\)	\(\{1,2\}\)	\(\{2\}\)
\(\{2\}\)	\(\{2\}\)	\(\{1,2\}\)	\(\empty\)	\(\{1\}\)
\(\{1,2\}\)	\(\{1,2\}\)	\(\{2\}\)	\(\{1\}\)	\(\empty\)

一元：补运算

\(a_i\)	\(\sim a_i\)
\(\empty\)	\(\{1,2\}\)
\(\{1\}\)	\(\{2\}\)
\(\{2\}\)	\(\{1\}\)
\(\{1,2\}\)	\(\empty\)

A为任意非空集合，\(* \;\; \circ\) 是集合A上的二元运算， 对 \(\forall a,b,c \in A\)

1. 若有\(a * b \in A\) 则称运算* 关于集合是封闭的
2. 若有\(a * (b * c)= (a * b) *c\) 则称运算* 在集合A上是可结合的，或称运算 * 在A上满足结合律
3. 若有\(a * b= b * a\) 则称运算* 在集合A上是可交换的，或称运算 * 在A上满足交换律
4. 若有\(a * a= a\) 则称运算* 在集合A上是幂等的，或称运算 * 在A上满足幂等律
5. 若有\(a \circ (b * c)= (a \circ b) * (a \circ c)\) 和 \((b * c)\circ a=(b \circ a) * (c \circ a)\) 则称运算\(\circ\)对* 在集合A上是可分配的，或称运算\(\circ\)对*满足分配律
6. 吸收律

幺元

* 是集合A上的二元运算。

• 左幺元：如果存在\(e_l \in A\) 使得 \(\forall_x(x \in A \and e_l * x = x)\),则 \(e_l\) 为A中关于 * 运算的左幺元
• 右幺元：如果存在\(e_r \in A\) 使得 \(\forall_x(x \in A \and x * e_r= x)\),则 \(e_r\) 为A中关于 * 运算的右幺元
• 幺元：如果元素e既是左幺元，也是右幺元，称e是A中关于* 的幺元（单位元） \(e * x = x * e = x\)

幺元（左，右）不一定存在，也不一定唯一。

零元

* 是集合A上的二元运算。

• 左零元：如果存在\(O_l \in A\) 使得 \(\forall_x(x \in A \and O_l * x = O_l)\),则 \(O_l\) 为A中关于 * 运算的左零元
• 右零元：如果存在\(O_r \in A\) 使得 \(\forall_x(x \in A \and x * O_r= O_r)\),则 \(O_r\) 为A中关于 * 运算的右零元
• 零元：如果元素O既是左零元，也是右零元，称O是A中关于* 的零元 \(O * x = x * O = O\)

逆元

存在幺元才存在逆元。

设代数系统<A, * > 中， e是关于 * 运算的幺元， 若对某个元素a ：

• 左逆元：存在一个元素b， 使得\(b * a = e\), 则b是a的左逆元

• 右逆元：存在一个元素b， 使得\(a*b = e\), 则b是a的右逆元

• 逆元：既是左逆元，也是右逆元。 互逆

1. 设 * 是定义在集合A上的二元运算，在A中存在关于运算 * 的左幺元 与 右幺元， 则 \(e_l = e_r = e\) 且 A中的幺元是唯一的
2. 设 * 是定义在集合A上的二元运算，在A中存在关于运算 * 的左零元 与 右零元， 则 \(O_l = O_r = O\) 且 A中的零元是唯一的
3. 设有代数系统<A, *> 中|A| > 1。若该代数系统中存在关于运算 * 的幺元与零元， 则 \(e \neq O\)

例题

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设 \(x \circ y\) 是Q上的二元运算：
\(x \circ y = x + y + 2xy\)

1. \(x \circ y\) 是否满足交换律、结合律

\[\begin{align} & x \circ y = x + y + 2xy = y + x + 2yx = y \circ x \\ & 故满足交换律\\ &\forall x ,y ,z \in Q \\ (x \circ y) \circ z &= (x \circ y) + z + 2(x \circ y)z \\ &= (x + y + 2xy) + z + 2(x + y + 2xy)z \\ &= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz\\ x \circ (y \circ z) &= x + (y +z+2yz)+ 2x(y +z + 2yz) \\ &=x + (y \circ z)+ 2x(y \circ z)\\ &=x + (y +z+2yz)+ 2x(y +z + 2yz)\\ &=x+y+z+2yz+2xy +2xz + 4xyz\\ 故满足交换律 \end{align} \]

2. 求 \(x \circ y\) 的单位元、零元、所有可逆元

ls

群与半群

群与半群都是具有一个二元运算的代数系统。

半群

设\(V=<S,*>\)是代数系统，* 是集合S上的二元运算，若运算* 是封闭的且可结合的， 则称V是半群

• 独异点：若半群存在一个幺元，则称该半群为独异点（含幺元半群）

• 子半群：若集合B属于S，且* 在B上封闭， 则\(<B,*>\) 也是半群，称为 V 的子半群

设\(<S,*>\) 是一个独异点，，对于 \(\forall a,b \in S\) 若a，b均有逆元，则

• \((a^{-1})^{-1}=a\)
• 若 $a * b \(有逆元，则\)(a * b)^{-1}=b * a^{-1}$

\[\begin{align} 1. &因为<S,*> 是独异点，故存在幺元e， 对\forall a \in S , 若a有逆元，则 a*a^{-1}=a^{-1}*a=e \\ &这表明a是a^{-1}的逆元 ， 即 (a^{-1})^{-1}=a \\ 2. &\forall a、b \in S, 若a, b, a*b 均有逆元则 \\ & a * b * (b^{-1} * a^{-1}) = a* (b * b^{-1}) * a^{-1} = a * e * a^{-1}= e, \\ & (b^{-1} * a^{-1})*a * b = b^{-1} * (a^{-1} * a) * b = b^{-1} * e *b = e, \\ 故& b^{-1}*a^{-1}是a*b的逆元， 即(a * b)^{-1}=b^{-1} * a^{-1} \end{align} \]

\(a*b\) 是一个整体， 可以看作是*运算的左操作数, \((b^{-1} * a^{-1})\) 是一个操作数， 是* 运算的有操作数。

群

设\(<G,*>\) 是一个独异点， 其中G是非空集合， * 是G上的二元运算， 对于\(\forall x \in G\) 都有逆元\(x^{-1}\)存在， 则称\(<G,*>\)是一个群; 群满足三个条件：

• 封闭性
• 结合律与存在幺元
• 集合中的每个元素都存在逆元

平凡群：

G只有一个元素， 即\(G=\{e\}, |G|=1\)

交换群(Abel群)

若运算在集合上满足交换律，则该群是一个交换群或Abel群。

阶元

若群的幺元为e， 对于\(a \in G\) 使得\(a^k=e\)成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|， a称为k阶元。若不存在k，则a称为无限阶元。

设\(<G,*>\) 是一个群，\(\forall a,b \in G, \forall n,m \in Z\)有：

1. \((a^{-1})^{-1}=a\)
2. \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)
3. \(a^na^m=a^{n+m}\)
4. \((a^n)^{m}=a^{nm}\)
5. 若G为Abel群， \((ab)^n=a^nb^b\)

幂等元

在代数系统\(<G,*>\)中，如果存在\(a\in G 有 a*a = a\) 称a为幂等元。 若*运算满足幂等律，G中所有元素军事幂等元

\(<G,*>\)是群，则G满足消去律，即对 \(\forall a,b \in G\)

1. 若 \(a *b = a * c, 则\; b = c\)
2. 若 \(b * a = c * a, 则\; b = c\)

平凡群中不存在零元。

群中方程的唯一解

\(<G,*>\)为群， \(\forall a,b \in G\), 方程 \(ax=b 和 ya = b\)，在G中x、y有解且仅有唯一解。

\(a^{-1} 是 ax=b的唯一解\)， \(ba^{-1}是ya=b的唯一解\)

\[\begin{align} 证：因为G是群,&对于\forall a \in G 均存在其逆元 a^{-1} \\ 令： &x = a^{-1} * b , 显然 x \in G 则：\\ a * x &= a * (a^{-1} * b) \\ &= (a * a^{-1}) *b \\ &= e * b \\ &= b\\ 若存在x_1 \in G , &也是满足 a * x_1 = b ， 则： \\ a^{-1} * b &= a ^{-1} * (a * x_1) \\ &= (a * a^{-1}) * x_1 \\ &= e * x_1 \\ &= x_1 \\ 即： &x = a^{-1} * b = x_1 \end{align} \]

循环群与生成元

设\(<G,*>\)是一个群，若G中存在一个元素a， 使得G中的任意元素都是a的幂组成， 则称该群为循环群， 元素a为循环群G的生成元

G的阶为有限时，称为有限循环群， G的阶为无限时称为无限循环群。

子群

设\(<G,*>\)是一个群，S是G的非空子集， 如果\(<S,*>\)也构成群，则称\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的一个子群， 记作 \(S\leq G\)

子群判断定理

设\(<G,*>\)是一个群，S是G的非空子集， 则\(S\leq G\) 当且仅当以下条件成立：

1. \(\forall a,b \in H 有 a * b \in H\) （满足封闭性）
2. \(\forall a \in H 有 a^{-1} \in H\) （所有元素都有逆元）

设\(<G,*>\)是一个群，S是G的非空子集， 则S是G的子群当且仅当 \(\forall a,b \in H 有 a * b^{-1} \in H\)

设\(<G,*>\)是一个群，S是G的有穷非空子集， 则S是G的子群当且仅当\(\forall a,b \in H 有 a * b \in H\)

群的中心

dai

环和域

设 \(<R,+,*>\) 是代数系统， \(+\)和\(*\) 是二元运算， 若满足：

1. \(<R, +>\) 是Abel群（交换群）； 封闭性、可结合、含有幺元、元素均有逆元、可交换
2. \(<R, *>\) 是半群; 封闭性、可结合
3. 运算 \(*\) 对于运算 \(+\) 是可分配的；

为了方便：将加法的幺元记作0， 将乘法的幺元记作1。 对于环中的任意元素a， 加法的逆元称为负元， 记作\(-a\)； 乘法的逆元称为逆元， 记作\(a^{-1}\)

1. \(a * 0 = 0 *a = 0\)
2. \(a * (-b) = (-a) *b = -(a * b)\)
3. \((-a)*(-b)=a*b\)
4. \(a *(b-c)=a*b-a*c\)
5. \((b-c)*a=b*a-c*a\)

零因子

设 \(<R,+,*>\) 是环，对于 \(a,b \in R, a \neq 0, b \neq 0 但 a*b=0\), 称a是R中的一个左零因子， b是R中的一个右零因子。若一个数既是左零因子又是右零因子，则它是零因子。

\(<Z_6, \bigoplus,\bigotimes>\) 中， \(3 \bigotimes 4 = 0\), 所以3是左零因子，4是右零因子。由于 \(\bigotimes\) 是可交换的，所以 \(4 \bigotimes 3 = 0\), 所以4是左零因子，3是右零因子。即3和4都是零因子。

设 \(<R,+,*>\) 是环

1. 如果环中乘法满足交换律，则称为可交换环
2. 如果环中乘法存在幺元，则称为含幺元环。 \(\forall a \in R 均有 1 * a = a*1 = a\); 1称为环的幺元
3. 无零因子环：\(\forall a,b \in R, 若 a *b = 0 , 必有 a=0 或 b =0\)
4. 若环是交换环、含幺环、也是无零因子环，称其为整环

定理： \(<R,+,*>\) 是环，当满足以下条件时它是无零因子环： R在乘法中适合消去律

\(\forall a,b \in R, a \neq 0 若有 a*b =a *c (或 b*a = c*a), 则有b=c\)

域

设 \(<R,+,*>\) 是整环， 且\(|R|\ge 2\) , 若\(\forall a \in R^*=R-\{0\}\) 都有 \(a^{-1} \in R\) 则称其为域