03-谓词逻辑
谓词的概念与表示
分析： x 大于 3； 其中包含两部分：
- 主语： x
- 谓语: 大于3
- 个体词：是指研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体， 可以使用变量、也可以代入特定的值
- 个体常项：当个体词表示具体或特定的客体；多用小写字母 a,b,c ... 来表示
- 个体变项：当个体词表示抽象或泛指的个体；多用小写字母 x,y,z ... 来表示
- 论域：个体变项的取值范围称个体域或论域；有穷集合、无穷集合
- 全总个体域：包含全宇宙中所有事物的论域；没有特别指明某个论域，则隐含所指是在全总个体域中讨论
- 谓词：用来指明个体的性质或个体之间的关系等， 常用大写字母 P，Q，R...来表示
- 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词
- 谓词变项：表示抽象或泛指的性质或关系的谓词
- 命题函数：由一个谓词、一些个体变量组成的表达式称为谓词变项或命题函数
B（x,c,y）表示：c 位于x和y之间；
jn 表示济南； bj表示北京， sh表示上海
B(bj,jn,sh) 表示语句：济南位于北京和上海之间
谓词变项中，个体变项的数目称为谓词变项的元数， 如\(A(x)\)为一元谓词；\(L(x,y)\)为二元谓词；\(P(X_1，X_2,...,X_n)\)为n元谓词；
当n元谓词中，某一个个体变项取作常量时， 如\(X_1=a\),此时为\(n-1\)元谓词
不带个体变项的谓词称为0元谓词（都是个体常项）
符号化
小张年龄超过18岁，身体健康，具有大学本科学历， 则他可以参见飞行员招录考试
解：小张表示为a， A(x)：x超过18岁，B(x):x身体健康， C(x):x大学毕业，E(x):x参见飞行员考试
\(A(a) \and B(x) \and C(x) \rarr E(x)\)
- 如果3小于4，且4小于5 则3小于5
- \(设 L(x,y):x 小于y；L(3,4) \and L(4,5)\rarr L(3,5)\)
- 如果某数是有理数,则该数可以写成分数
- \(设：P(x):x 是有理数； Q(x):x 是分数； a:某数； G(a)\rarr Q(a)\)
- 只有2是素数，4才是素数
- \(设：P(x):x 是素数； P(4)\rarr P(2)\) 2是素数是必要条件
量词与合式公式
量词表示数量关系；有全称量词与存在量词两种；
- 全称量词
- 某一行性质对变量在某一特定领域内的所有值均为真 \(\forall\)
- \(\forall_xP(x): P(x)对x在其论域的所有真为真\)
- 存在量词
- 表示某一性质对变量在论域内的若干值为真 \(\exists\)
- \(\exists_xP(x):论域中存在一个元素使得P(x)为真\)
特性谓词
有的命题中需要指明论域，这些也是谓词， 称为特性谓词。
在全称量词中， 特性谓词是条件式的前件
在存在量词中，特性谓词后跟一个合取项
一般，在全总个体域中才产生特性谓词。如果没有实现明确提出个体域， 则认为个体域是全总个体域。
- 全班同学都已学过微积分课程
- \(设: P(x): x学过微积分课程，S(x): x 是本班学生； \forall_x(S(x)\rarr P(x))\)
- 每个自然数都是实数
- \(设：N(x):x 是自然数， R(x):x 是实数； \forall_x(N(x)\rarr R(x))\)
- 每人恰有一个朋友
- 恰有一个：有且仅有一个
- \(设：B(x,y): y 是 x的朋友；\forall_x\exists_y\forall_z(B(x,y) \and (z \ne y) \rarr \neg B(x,z))\)
- 有些水生动物是肺呼吸的
- \(设：P(x): x 是水生动物；Q(x)：x 是肺呼吸的； \exists_x(P(x)\and Q(x))\)
- 所有狮子都是凶猛的
- 有些狮子不喝咖啡
- 有些凶猛的动物不喝咖啡
\[\begin{align} 设：&P(x):x是狮子；Q(x):x是凶猛的动物；R(x): x喝咖啡 \\ (1)& \forall_x(P(x) \rarr Q(x)) \\ (2)& \exists_x(P(x)\and \neg R(x)) \\ (3)& \exists_x(Q(x) \and \neg R(x)) \\ \end{align} \]
- 没有最大的实数
\[\begin{align} 设\;\;\; & R(x):x是实数 ， L(x,y):x 小于 y；\\ & \forall_x(R(x)\rarr \exists_x(R(y) \and L(x,y))) \end{align} \]
- 每个实数的平方都不小于0
\[\begin{align} 设\;\;\; & R(x):x 是实数，f(x):x的平方， L(x,y): x 小于y； \\ & \forall_x(R(x) \rarr \neg L(f(x),0)) \\ \end{align} \]
指导变元&辖域
给定谓词合式公式A， 其中一部分公式形式为 \(\forall_xB(x) \text{或} \exists_xB(x)\), 称量词\(\forall,\exists\)后的\(x\)为指导变元或作用变元；\(B(x)\) 为对应量词的辖域（作用域）；
在辖域中，x的一切出现都是约束出现；在\(B(x)\) 中除去约束出现的其他变元的出现都是自由出现
项
项由以下规则形成（函数）
- 个体常用和个体变元是项
- 若f是n元函数， 且\(t_1, t_2, ...,t_n\)是项， 则 \(f(t_1, t_2, ..., t_n)\) 是项
- 所有项都由1和2生成
张强的父亲是教授
设：\(c: 表示张强， f(x): x 的父亲； Q(y): y 是教授；\) 有：
\(Q(f(c))\) 表示： c的父亲是教授， 即张强的父亲是教授
对任意整数x， \(x^2-1=(x+1)(x-1)\) 是恒等式
设 \(I(x): x是整数， f(x)=x^2-1, g(x)=(x+1)(x-1), E(x,y):x=y\)
命题可表示为 \(\forall_x(I(x)\rarr E(f(x), g(x)))\)
⭐ 没有最大的自然数
意味着对于任何一个自然数，都存在一个比它更大的自然数
设：N(x): x 是自然数； L(x,y): x 小于y
\[\begin{align} \forall_x(N(x)\rarr (\exists_y)(N(y)\and L(x,y))) \end{align} \]
谓词演算的等价式与蕴涵式
消去量词
当确定论域后， \(\forall_xP(x)\;\;和\;\; \exists_xP(x)\) 都是一个特定的命题；
设论域元素为 \(a_1, a_2, ..., a_n\) 这下列关系成立
- \(\forall_xA(x) \Lrarr A(a_1)\and A(a_2) \and ... \and A(a_n)\) 全称量词对应 合取
- \(\exists_yA(x) \Lrarr A(a_1)\or A(a_2)\or ... \or A(a_n)\) 存在量词对应 析取
计算：论域为D={2, 3}; L(x, y) 定义如下， 求： \(\forall_x\exists_yL(x,y)\)
- 消去量词
\[\begin{align} &\forall_x\exists_yL(x,y) \\ \Lrarr& (\exists_yL(2, y) \and (\exists_yL(3,y)) \\ \Lrarr& ((L(2,2))\or(L2,3))\and ((L(3,2)) \or (L(3,3))) \\ \Lrarr&(T \or T)\and( F \or F) \Lrarr F \end{align} \]
等价式
量词否定等价式
量词辖域缩小或扩大等价式
量词分配律等价式
蕴涵
前束范式
定义如果一个公式的量词均在全式的开头，它们的作用域延申到整个公式的末尾，则称它为前束范式
\((Q_1V_1)(Q_2V_2)...(Q_nV_n)A\) 其中\(Q_i\)是量词（\(\forall/\exist\)）\(V_i\)是指导变元。A为不含有量词的谓词公式
转换步骤
- 对不同辖域的同名变元进行换名
- 利用量词否定等价式，将否定联结词深入到命题变元和谓词公式之前
- 利用等值式将量词提取到最前面 \(\forall_x(A\or B(x))\Lrarr A\or \forall_xB(x)\) 和 \(\exists_x(A \and B(x)) \Lrarr A \and \exist_xB(x)\)
| 前束范式 | 非前束范式 |
|---|---|
| \(\forall_x\forall_y\exists_x(Q(x,y)\rarr R(z))\) | \(\forall_xR(x) \and \exist_yS(y)\) |
| \(\forall_x\forall_y(\neg P(x,y) \rarr Q(y))\) | \(\forall_x(P(x) \rarr (\color{red}\exist_x\color{black})Q(x,y))\) |
| \(\forall_xP(x)\rarr Q(x)\) |
求下列公式的前束范式
谓词演算推理理论
-
全称量词消去规则\(\forall-\)
⭐\(\forall_xA(x)\Rarr A(c)\) c 是论域中的任意个体常元
\(\forall_xA(x) \Rarr A(y)\) y 在A(x)中是自由出现的, 即y在公式中没有出现过
-
全称量词引入规则\(\forall+\)
避免使用
如果论域中的任意个体c使得P(x)， 则有 \(\forall_xP(x)\)
-
存在量词消去规则\(\exist-\)
⭐\((\exist_x)A(x) \Rarr A(c)\) c 是论域中特定的个体常元
\((\exist_x)A(x)\Rarr A(y)\) 成立的充分条件是：
- c或y不得在前提中或则居先推导公式中出现或自由出现
- 若A(x)中由其他任何自由变元时，不能使用本规则
-
存在量词引入规则\(\exist+\)
如果已知论域中存在某个个体c使得P(c)为真，则 \(\exist_xP(x)\)
\(A(c) \Rarr (\exist_y)A(y)\) c 为特定个体常元
注意量词消去规则中存在消去时顺序问题:
综合应用
证明下面苏格拉底论证
所有人都是要死的
苏格拉底是人
因此，苏格拉底是要死的
符号化 （个体变元、论域、量词、特性谓词、谓词、 项）
P(x): x是人， D(x):x是要死的， c：苏格拉底
前提： \(\forall_x(P(x)\rarr D(x))、P(c)\)
结论： D(c)
证明：
\[\begin{align} (1) & \forall_x(P(x)\rarr D(x)) \tag{P规则} \\ (2) & P(c) \rarr D(c) \tag{全称量词消去规则}\\ (3) & P(c) \tag{P规则} \\ (4) & D(c) \tag{T(2)(3) 假言推理}\\ \end{align} \]假言推理：$ (A\rarr B)\and A \Rarr B$
\(\forall_x(P(x)\or Q(x)) \Rarr \forall_xP(x) \or \exist_xQ(x)\)
任何人若他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。每个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行
P(x):x 喜欢步行；Q(x):x喜欢乘汽车；R(x):x喜欢骑自行车；论域：人
\[(\forall_x)((P(x)\rarr \neg Q(x))) \and (\forall_x)(Q(x)\or R(x)) \and (\exist_x)\neg R(x) \Rarr (\exist_x)\neg P(x) \]\[\begin{align} 前提：\\ & \forall_x(P(x) \rarr \neg Q(x)) \\ & \forall_x(Q(x) \or R(x)) \\ & \exist_x\neg R(x) \\ 结论:\\ & \exist_x\neg P(x) \end{align} \]证明：
浙公网安备 33010602011771号