02-命题逻辑的推理理论

1、范式

文字：将命题变元及其否定统称为文字

• 简单析取式：仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式
• 简单合取式：仅由有限个文件构成的合取式称为简单合取式

性质

1. 当且仅当一个命题同时含有某个命题变元及其否定时，其简单合取式是矛盾式
2. 当且仅当一个命题同时含有某个命题变元及其否定时，其简单析取式是永真式

合取范式

当且仅当一个命题公式具有如下形式 \(A_1\and A_2 \and ... \and A_n\); 其中\(A_1 ... A_n\) 都是简单析取式

合取范式是由简单析取式的合取构成。当且仅当每个简单析取式都是重言式式，合取范式才是重言式。

析取范式

当且仅当一个命题公式具有如下形式 \(A_1\or A_2 \or ... \or A_n\); 其中\(A_1 ... A_n\) 都是简单合取式

析取范式是由简单合取式的析取构成。当且仅当每个简单合取式都是矛盾式时，析取范式才是矛盾式。

求公式等值的合取范式或析取范式的步骤

1. 将命题公式转换为仅含联结词完备集$ { \neg \and \or } $ 中的联结词的公式。
   1. \(A \lrarr B \Lrarr (A\rarr B) \and (B \rarr A)\)
   2. \(A \rarr B \Lrarr \neg A \or B\)
2. 利用双重否定律和德摩根定律 进行等值变换
   1. \(\neg \neg A \Lrarr A\)
   2. \(\neg(A\and B) \Lrarr \neg A V\neg B\)
   3. \(\neg (A\or B) \Lrarr \neg A \and \neg B\)
3. 利用分配律进行等值变换， 保证在析取/合取 范式中不存在形式 \(A\and (B \or C) ; A \or (B \and C)\) 的公式

小项与大项

小项

• n个命题变元的简单合取式，称为布尔合取或极小项
  • 小项中，每个命题变元及其否定不能同时存在，但命题变元必须出现且出现一次
• 小项中，命题变元以字母顺序出现
• 编码
  • 以小写字母m表示小项的编码
  • 以命题变元出现的下标表示每个变元
  • 命题变元的肯定表示为1， 否定表示为0
  • \(m_1 = m_{001} = \neg P \and \neg Q \and R\)
• 性质
  • 每个小项具有一个对应的编码， 且只有一种情况真值为T，即按照编码值进行指派时真值为T， 其余为F
  • 每个小项只有一个成真指派
  • 任意两个不同的小项的合取式为矛盾式（每个小项只有一种成真指派， 按照其编码指派时，其他的所有小项真值都是F， 根据合取的定义，整个合取式为F）
  • 全体小项的析取为重言式

大项

• n个命题变元的简单析取式，称为布尔析取或极大项
  • 大项中，每个命题变元及其否定不能同时存在，但命题变元必须出现且出现一次
• 大项中命题变元以字母顺序出现
• 编码
  • 以大写字母M表示大项的编码
  • 以命题变元出现的下标表示每个变元
  • 命题变元的肯定表示为0， 否定表示为1
  • \(M_2=M_{010}= P \or \neg Q \or R\)
• 性质
  • 每个大项具有一个对应的编码， 且只有在一种情况下真值为F， 即按照编码值进行指派时真值为F， 其余情况都是T
  • 每个大项只有一个成假指派
  • 任意两个不同大项的析取为重言式
  • 全体大项的合取式为矛盾式

2、主范式

主析取范式

一个仅由小项的析取组成的命题公式。

在真值表中，所有真值为T的指派所对应的小项的析取，构成该公式的主析取范式

真值表法

用真值表法求主析取范式的步骤

1. 构造命题公式的真值表
2. 找出公式的成真指派对应的小项
3. 这些小项的析取就是此公式的主析取范式

\(\neg(P \rarr Q) \and \neg Q \and \neg R\)

小项编码	P	Q	R	\(P\rarr Q\)	\(\neg(P\rarr Q)\)	\(\neg Q\)	\(\neg R\)	\(\neg(P \rarr Q) \and \neg Q \and \neg R\)
\(m_{111}\)	1	1	1	1	0	0	0	0
\(m_{110}\)	1	1	0	1	0	0	1	0
\(m_{101}\)	1	0	1	0	1	1	0	0
\(m_{100}\)	1	0	0	0	1	1	1	1
\(m_{011}\)	0	1	1	1	0	0	0	0
\(m_{010}\)	0	1	0	1	0	0	1	0
\(m_{001}\)	0	0	1	1	0	1	0	0
\(m_{000}\)	0	0	0	1	0	1	1	0

主析取范式为：公式取值为真时对应小项的析取， 即：\(m_{100}=(P\and \neg Q \and \neg R)\); 可以表示为 \(\sum(4)\)

\((p \rarr q)\rarr r\)

小项的编码	p	q	r	\(p\rarr q\)	\((p\rarr q) \rarr r\)
\(m_{000}\)	0	0	0	1	0
\(m_{001}\)⭐	0	0	1	1	1
\(m_{010}\)	0	1	0	1	0
\(m_{011}\)⭐	0	1	1	1	1
\(m_{100}\)⭐	1	0	0	0	1
\(m_{101}\)⭐	1	0	1	0	1
\(m_{110}\)	1	1	0	1	0
\(m_{111}\)⭐	1	1	1	1	1

主析取范式为：公式取值为真时对应小项的析取， 即：

\[\begin{align} 原始公式 \\ & \Lrarr m_{001}\or m_{011}\or m_{100}\or m_{101} \or m_{111} \\ & \Lrarr m_1\or m_3 \or m_4 \or m_5 \or m_7 \\ & \Lrarr \sum (1,3,4,5,7) \\ & \Lrarr (\neg p \and \neg q \and r) \or (\neg p \and q \and r) \or (p \and \neg q \and \neg r) \or (p \and \neg q \and r) \or (p \and q \and r) \end{align} \]

等值演算法

1. 化归为析取范式
2. 除去析取范式中所有永假的简单合取式
3. 在简单合取式中将重复出现的合取项和相同变元合并
4. ⭐在简单合取式中补入没有出现的命题变元，即添加 \(\and (p \or \neg p)\) 再用分配律展开， 最后合并相同的小项

\((p \rarr q)\rarr r\)

\[\begin{align} & \Lrarr (\neg p \or q) \\ & \Lrarr \neg (\neg p \or q) \or r\\ & \Lrarr (p \and \neg q) \or r \;\;\text{已经是析取式,只要添加上缺失命题变元}\\ & \Lrarr (p \and \neg q) \or (r \and \neg r) \or r\\ & \Lrarr (p \and \neg q \and r) \or (p \and \neg q \and \neg r) \or r \\ & \Lrarr [(p \and \neg q \and r) \or (p \and \neg q \and \neg r) ]\or [\color{red}(p \and r) \or \color{green}(\neg p \and r)] \\ & \Lrarr [(p \and \neg q \and r) \or (p \and \neg q \and \neg r) ]\or [\color{red}(p \and q \and r) \or (p \and \neg q \and r) \or\color{green}(\neg p \and q\and r)\or(\neg p \and \neg q\and r)] \\ & \Lrarr m_{101}\or m_{100} \or m_{111} \or m_{101} \or m_{011} \or m_{001} \\ & \Lrarr m_{001} \or m_{011} \or m_{100} \or m_{101} \or m_{111} \\ & \Lrarr \sum(1,3,4,5,7) \\ & \Lrarr (p \and \neg q \and r) \or (p \and \neg q \and \neg r) \or (p \and q \and r) \or (\neg p \and q\and r)\or(\neg p \and \neg q\and r) \end{align} \]

注意

• 矛盾式无成真指派，因而主析取范式不含任何小项，将矛盾式的主析取式记为0.
• 重言式无成假指派，因而主析取范式含有\(2^n\) 个小项。
• 可满足式， 它的主析取式中小项的个数小于等于\(2^n\)

主合取范式

一个仅由大项的合取组成的公式。

在真值表中，所有真值为F的指派所对应的大项的合取就是该公式的主合取范式。

真值表法

用真值表法求主合取范式的步骤

1. 构造命题公式的真值表
2. 找出公式的成假指派对应的大项
3. 这些大项的合取就是此公式的主合取范式

\(\neg(P \rarr Q) \and \neg Q \and \neg R\)

大项的编码	小项编码	P	Q	R	\(P\rarr Q\)	\(\neg(P\rarr Q)\)	\(\neg Q\)	\(\neg R\)	\(\neg(P \rarr Q) \and \neg Q \and \neg R\)
\(M_{000}\)	\(m_{111}\)	1	1	1	1	0	0	0	0
\(M_{001}\)	\(m_{110}\)	1	1	0	1	0	0	1	0
\(M_{010}\)	\(m_{101}\)	1	0	1	0	1	1	0	0
\(M_{011}\)	\(m_{100}\)	1	0	0	0	1	1	1	1
\(M_{100}\)	\(m_{011}\)	0	1	1	1	0	0	0	0
\(M_{101}\)	\(m_{010}\)	0	1	0	1	0	0	1	0
\(M_{110}\)	\(m_{001}\)	0	0	1	1	0	1	0	0
\(M_{111}\)	\(m_{000}\)	0	0	0	1	0	1	1	0

主合取范式为：公式取值为真时对应大项的合取， 即：\(m_{011}=(P\or\neg Q \or \neg R)\); 可以表示为 \(\Pi(3)\)

\((p \rarr q)\rarr r\)

p	大项的编码	q	r	\(p\rarr q\)	\((p\rarr q) \rarr r\)
0	\(M_{000}\)⭐	0	0	1	0
0	\(M_{001}\)	0	1	1	1
0	\(M_{010}\)⭐	1	0	1	0
0	\(M_{011}\)	1	1	1	1
1	\(M_{100}\)	0	0	0	1
1	\(M_{101}\)	0	1	0	1
1	\(M_{110}\)⭐	1	0	1	0
1	\(M_{111}\)	1	1	1	1

主析取范式为：公式取值为真时对应小项的析取， 即：

\[\begin{align} 原始公式 \\ & \Lrarr m_{000}\and m_{010}\and m_{110} \\ & \Lrarr m_0\and m_2 \or m_6\\ & \Lrarr \Pi (0,2,6) \\ & \Lrarr (P\or Q \or R) \and (P \or \neg Q \or R) \and (\neg P \or \neg Q \or R) \end{align} \]

注意

大项与小项编码的区别

1. 编码值都是一样的，只是小项用m， 大项用M
2. 小项转换为命题公式时，1 表示肯定， 0 表示否定 \(m_{010} \Lrarr (\neg P \and Q \and \neg R)\)
3. 大项转换为命题公式时，1 表示否定， 0表示肯定 \(M_{010} \Lrarr (P \or \neg Q \or R)\)

等值演算法

1. 化归为合取范式
2. 除去合取范式中所有永真的简单合取式
3. 在简单析取式中将重复出现的析取项和相同变元合并
4. ⭐在简单析取式中补入没有出现的命题变元，即添加 \(\or (p \and \neg p)\) 再用分配律展开， 最后合并相同的大项

\((p \rarr q)\rarr r\)

\[\begin{align} & \Lrarr (\neg P \or Q) \rarr R \\ & \Lrarr \neg(\neg P \or Q) \or R \\ & \Lrarr (P \and \neg Q) \or R \\ & \Lrarr (P \or R)\and(\neg Q \or R ) \\ & \Lrarr [(P \or Q \or R) \and (P \or \neg Q \or R)] \and [(P \or \neg Q \or R) \and (\neg P \or \neg Q \or R)]\\ & \Lrarr M_{000} \and M_{010} \and M_{010} \and M_{110} \\ & \Lrarr M_{000} \and M_{010} \and M_{110} \\ & \Lrarr \Pi(0,2,6) \\ & \Lrarr (P \or Q \or R) \and (P \or \neg Q \or R) \and (\neg P \or \neg Q \or R)\\ \end{align} \]

3、自然推理系统

定义：设\(H_1,H_2,...,H_n\) 和 C 都是命题公式， 若对于\(H_1,H_2,...,H_n\) 和 C 中出现命题变元的任意一组赋值都有如下结果之一：

1. \(H_1 \and H_2 \and ,...,\and H_n\) 为假
2. \(H_1 \and H_2 \and ,...,\and H_n\) 为真时C也为真

则称由前提\(H_1,H_2,...,H_n\)推出结论C的推理是有效的或正确的， 并称C是有效结论或逻辑结论

注意只关注结论是否正确，并不关注结论是否真实

设\(H_1,H_2,...,H_n\) 和 C 都是命题公式， 当且仅当\(H_1 \and H_2 \and ,...,\and H_n \Rarr C\) , 称 C 是一组前提的有效结论， 记为：\(H_1 \and H_2 \and ,...,\and H_n \vdash C\)

由蕴涵定义可知，\(P\Rarr Q\) 的充分必要条件是 \(P\rarr Q\) 是一个重言式；所以只有P为真且Q为F时不是重言式，其余都是

1. 真值表
2. 等值演算法
3. 假设： A 为T时， B也是T；B为F时， A只能是F
4. 推理法：根据已知的等值公式和蕴涵式， 利用推理规则证明
   1. 直接推理
   2. 间接推理：反证法

推理规则

• P 规则（前提引入规则）：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用
• T 规则（结论引入规则）：推理中，如果一个或多个公式蕴涵了公式S， 则公式S可以引入到以后的推理中
• 转换规则：在推导的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等价的公式置换。此规则也可以记为T规则

常用的推理定律 ⭐

• 附加律 \(A \Rarr (A \or B)\)
• 化简律 \((A\and B) \Rarr A \;\;\;\;, (A\and B) \Rarr B\)
• 假言推理 \((A \rarr B)\and A \Rarr B\)
• 拒取式 \((A \rarr B)\and \neg B \Rarr \neg A\)
• 条件（假言）三段论 \((A \rarr B)\and(B \rarr C)\Rarr (A \rarr C)\)
• 析取三段论 \(((A\or B) \and \neg B) \Rarr A\)
• 合取引入规则 \(A,B \Rarr (A \and B)\)

证明：用直接推理法证明：\((p \rarr q)\and (q \rarr r) \and p \Rarr r\)

\[\begin{align} &(1) \; p \rarr q \tag{P规则} \\ &(2) \; p \tag{P规则} \\ &(3) \; q \tag{T(1)(2)假言推理} \\ &(4) \; q \rarr r \tag{P规则} \\ &(5) \; r \tag{T(3)(4)假言推理} \end{align} \]

证明：用直接推理法推理证明：\((P \or Q)\and(P \rarr R)\and(Q \rarr S) \Rarr S\or R\)

方式一

\[\begin{align} 证明：& \\ &(1) P\or Q\tag{P 规则} \\ &(2) \color{red}\neg P \rarr Q \tag{T(1)} \\ &(3) Q \rarr S \tag{P 规则} \\ &(4) \neg P \rarr S \tag{T(2)(3) 条件三段论} \\ &(5) P \rarr R \tag{P 规则} \\ &(6) \color{red}\neg R \rarr \neg P \tag{T(5) 假言易位} \\ &(7) \neg R \rarr S \tag{T(4)(6) 条件三段论} \\ &(8) R\or S\tag{T(7)} \\ &(9) S \or R \tag{T(8)} \end{align} \]

间接推理

归谬法

若 \(H_1\and H_2\and ... \and H_n \and \neg C\) 为矛盾式， 则 \(H_1\and H_2\and ... \and H_n \Rarr C\) 成立

• 结论的否定可以作为附件前提在推理的过程中被引用（归谬法、反证法）

证明：

\[\begin{align} 设：& S\Lrarr H_1\and H_2\and ... \and H_n \\ 上式可以简化为 & S \Rarr C \\ 由蕴涵定义有 & 1 \Lrarr S \rarr C \Lrarr \neg S \or C\\ 两边否定 & 0 \Lrarr S \and \neg C \Lrarr H_1\and H_2 \and ... \and H_n \and \neg C \\ 上面两式等价于 \\ & 0 \Rarr H_1\and H_2 \and ... \and H_n \and \neg C \\ & H_1\and H_2 \and ... \and H_n \and \neg C\Rarr 0\\ \end{align} \]

证明：

\[\begin{align} 设：& S\Lrarr H_1\and H_2\and ... \and H_n \\ 若\; & S \and \neg C 为矛盾式 \\ &S \and \neg C \Rarr \neg(\neg S \or C) \Lrarr F\\ &\Lrarr \neg S \or C \Lrarr T \\ &\Lrarr S \rarr C \Lrarr T\\ \end{align} \]

用归谬法证明 \(（P\and Q）\rarr R , \neg R \or S, \neg S, P \Rarr \neg Q\)

\[\begin{align} &(1)& Q \tag{P规则(结论否定)} \\ &(2)& \neg R \or S \tag{P 规则} \\ &(3)& \neg S \tag{P 规则} \\ &(4)& \neg R \tag{T(2)(3) 析取三段论} \\ &(5)& (P \and Q) \rarr R \tag{P 规则} \\ &(6)& \neg(P \and Q) \tag{T(4)(5)据取式} \\ &(7)& \neg P \or \neg Q \tag{T(6)德摩根定律} \\ &(8)& P\tag{P 规则} \\ &(9)& \neg Q \tag{T(7)(8) 析取三段论} \\ &(10)& Q \and \neg Q \text{(矛盾)} \tag{T(1)(9)合取引入} \\ \end{align} \]

CP规则

若 \(H_1\and H_2\and ... \and H_n \and R \Rarr C\) ， 则 \(H_1\and H_2\and ... \and H_n \Rarr R\rarr C\) 成立

\[\begin{align} & H_1\and H_2\and ... \and H_n \Rarr R\rarr C \\ & S \Lrarr H_1\and H_2\and ... \and H_n \\ & S \Rarr R\rarr C \\ & 1 \Lrarr S \rarr (R \rarr C) \\ & \Lrarr \neg(S \and R)\or C \\ & \Lrarr (S \and R) \rarr C \\ & \Lrarr H_1\and H_2\and ... \and H_n\and R \rarr C \\ & \Lrarr H_1\and H_2\and ... \and H_n \and R \Rarr C \end{align} \]