BZOJ5340: [Ctsc2018]假面【概率+期望】【思维】
思路
首先考虑减血，直接一个dp做过去，这个部分分不难拿
然后是\(op=1\)的部分
首先因为要知道每个人被打的概率，所以需要算出这个人活着的时候有多少个人活着时概率是什么
那么用\(g_{i,j}\)表示第i个人还活着的时候还有其他的j个人活着的概率
这个东西暴力DP是\(n^3\)的
那么可以考虑优化，用\(f_{i,j}\)表示前i个人有j个人活着的概率
有转移：\(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}*(1-p_i)+f_{i-1,j}*p_i\)，其中\(p_i\)表示第i个人已经死了的概率
j等于0特判一下就好了
因为我们用任意i的顺序做f的DP最后的\(f_{n}\)那一行都不会变
所以可以考虑用\(f_n\)逆推回g，因为\(g_{i,j}=f_{n-1,j}\)，我们默认这个时候正在算的i是最后一个
那么根据上面的转移式可以得到\(f_{i-1,j}=\frac{f_{i,j}-(1-p_{now})*f_{i-1,j-1}}{p_{now}}\)
当\(p_{now}=0\)的时候我们发现\(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\)，也就是说最后一个人无论如何是不会死的，那么\(f_{i-1,j}=f_{i,j+1}\)
而当j=0的时候我们又需要特判了，首先入如果\(p_{now}=0\)，\(g_{now,0} = f_{n,1}\)，否则\(g_{now,0}=\frac{f_{n,0}}{p_{now}}\)
剩下的很简单
然后就愉快结束了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace io {
const int BUFSIZE = 1 << 20;
char ibuf[BUFSIZE], *is = ibuf, *it = ibuf;
char obuf[BUFSIZE], *os = obuf, *ot = obuf + BUFSIZE - 1;
char read_char() {
if (is == it)
it = (is = ibuf) + fread(ibuf, 1, BUFSIZE, stdin);
return *is++;
}
int read_int() {
int x = 0, f = 1;
char c = read_char();
while (!isdigit(c)) {
if (c == '-') f = -1;
c = read_char();
}
while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = read_char();
return x * f;
}
ll read_ll() {
ll x = 0, f = 1;
char c = read_char();
while (!isdigit(c)) {
if (c == '-') f = -1;
c = read_char();
}
while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = read_char();
return x * f;
}
void read_string(char* s) {
char c = read_char();
while (isspace(c)) c = read_char();
while (!isspace(c)) *s++ = c, c = read_char();
*s = 0;
}
void flush() {
fwrite(obuf, 1, os - obuf, stdout);
os = obuf;
}
void print_char(char c) {
*os++ = c;
if (os == ot) flush();
}
void print_int(int x) {
static char q[20];
if (!x) print_char('0');
else {
if (x < 0) print_char('-'), x = -x;
int top = 0;
while (x) q[top++] = x % 10 + '0', x /= 10;
while (top--) print_char(q[top]);
}
}
void print_ll(ll x) {
static char q[20];
if (!x) print_char('0');
else {
if (x < 0) print_char('-'), x = -x;
int top = 0;
while (x) q[top++] = x % 10 + '0', x /= 10;
while (top--) print_char(q[top]);
}
}
struct flusher_t {
~flusher_t() {
flush();
}
} flusher;
};
using namespace io;
const int Mod = 998244353;
const int N = 210;
int add(int a, int b) {
return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
}
int sub(int a, int b) {
return (a -= b) < 0 ? a + Mod : a;
}
int mul(int a, int b) {
return 1ll * a * b % Mod;
}
int fast_pow(int a, int b) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = mul(res, a);
b >>= 1;
a = mul(a, a);
}
return res;
}
int n, q, m[N], inv[N];
int c[N], res[N];
int p[N][N], f[N][N], g[N][N];
//p[i][j] 第i个人 还有j点血的概率
//f[i][j] 前i个人还有j个人活下来的概率
//g[i][j] 除了第i个人 还有j个人活下来的概率
int main() {
n = read_int();
inv[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
m[i] = read_int();
p[i][m[i]] = 1;
inv[i] = fast_pow(i, Mod - 2);
}
q = read_int();
while (q--) {
int op = read_int();
if (!op) {
int x = read_int(), p1 = read_int(), p2 = read_int();
int k = mul(fast_pow(p2, Mod - 2), p1);
p[x][0] = add(p[x][0], mul(p[x][1], k));
for (int i = 1; i <= m[x]; ++i) {
p[x][i] = add(mul(p[x][i + 1], k), mul(p[x][i], sub(1, k)));
}
} else {
int num = read_int();
for (int i = 1; i <= num; ++i) {
c[i] = read_int();
}
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= num; ++i) {
f[i][0] = mul(f[i - 1][0], p[c[i]][0]);
for (int j = 1; j <= i; ++j) {
f[i][j] = add(mul(f[i - 1][j - 1], sub(1, p[c[i]][0])), mul(f[i - 1][j], p[c[i]][0]));
}
}
for (int i = 1; i <= num; ++i) {
int invp = fast_pow(p[c[i]][0], Mod - 2);
if (!p[c[i]][0]) g[i][0] = f[num][1];
else g[i][0] = mul(f[num][0], invp); //**
for (int j = 1; j < num; ++j) {
if (!p[c[i]][0]) g[i][j] = f[num][j + 1];
else g[i][j] = mul(invp, sub(f[num][j], mul(g[i][j - 1], sub(1, p[c[i]][0]))));
}
}
for (int i = 1; i <= num; ++i) {
res[i] = 0;
for (int j = 0; j < num; ++j) {
res[i] = add(res[i], mul(inv[j + 1], g[i][j]));
}
res[i] = mul(res[i], sub(1, p[c[i]][0]));
print_int(res[i]), print_char(' ');
}
print_char('\n');
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int cur = 0;
for (int j = 1; j <= m[i]; ++j) {
cur = add(cur, mul(p[i][j], j));
}
print_int(cur), print_char(' ');
}
return 0;
}
