BZOJ5091: [Lydsy1711月赛]摘苹果【期望DP】

Description

小Q的工作是采摘花园里的苹果。在花园中有n棵苹果树以及m条双向道路，苹果树编号依次为1到n，每条道路的两

端连接着两棵不同的苹果树。假设第i棵苹果树连接着d_i条道路。小Q将会按照以下方式去采摘苹果：

1.小Q随机移动到一棵苹果树下，移动到第i棵苹果树下的概率为d_i/(2m)，但不在此采摘。

2.等概率随机选择一条与当前苹果树相连的一条道路，移动到另一棵苹果树下

3.假设当前位于第i棵苹果树下，则他会采摘a_i个苹果，多次经过同一棵苹果树下会重复采摘。

4.重复第2和3步k次。

请写一个程序帮助计算小Q期望摘到多少苹果。

Input

第一行包含三个正整数n,m,k(n,k<=100000,m<=200000)，分别表示苹果树和道路的数量以及重复步骤的次数。

第二行包含n个正整数，依次表示a_1,a_2,...,a_n(1<=a_i<=100)。

接下来m行，每行两个正整数u,v(1<=u,v<=n,u!=v)，表示第u和第v棵苹果树之间存在一条道路。

Output

若答案为P/Q，则输出一行一个整数，即P*Q^{-1} mod 1000000007(10^9+7)。

Sample Input

3 4 2
2 3 4
1 2
1 2
2 3
3 1

Sample Output

750000011
//期望为5.75=23/4=(23*250000002) mod 1000000007=750000011。

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思路

拆开看每个节点的贡献

设\(f_{i,j}\)表示在第j步走到i点的概率

\(f_{i,0}=\frac{d_i}{2m}\)

那么\(f_{i,1}=\sum_{i,j\in E}\frac{f_{j,0}}{d_j}=\frac{d_i}{2m}\)

所以得到\(f_{i,j\in[0,k]}=\frac{d_i}{2m}\)

然后又因为每个树的贡献是\(a_i*\sum_{i=1}^kf_{i,k}=\frac{a_i*d_i*k}{2m}\)

然后就直接算就行了

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
const int Mod = 1e9 + 7;

int add(int a, int b) {
  return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
}

int mul(int a, int b) {
  return 1ll * a * b % Mod;
}

int fast_pow(int a, int b) {
  int res = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) res = mul(res, a);
    b >>= 1;
    a = mul(a, a); 
  }
  return res;
}

int n, m, k, d[N], a[N];

int main() {
  scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v; scanf("%d %d", &u, &v);
    d[u]++;
    d[v]++;
  }
  int cur = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cur = add(cur, mul(a[i], d[i]));
  }
  printf("%d", mul(cur, mul(k, fast_pow(m * 2, Mod - 2))));
  return 0;
}