HDU 1028

题目大意：

给一个数n，求出这个数的不重复整数排列。

解题思路：

（1）递归求解：栈深度有点高，可以通过记忆+剪枝优化。

（2）初始化二维数组dp，dp[i][j]，表示当前输入的数字为i时，排列的第一个数字为j时有几种排列方法。

不难看出

1可以拆分成1+0，只有1种

2可以拆分成2+0,1+1两种。

3可以拆分成3+0,2+1,1+1+1，三种

4可以拆分成4+0,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1,五种。

。。。。。。

以n=4为例，

4 = 4 + 0

4 = 3 + 1

4 = 2 + 2 

4 = 2 +1 + 1

4 = 1 + 1 + 1 + 1

从上面可以看出，我们把第一个数字和后面的所有数字分开看，第一个数字最大，第二个其次，第三个依次和前面一样，相等或减小。一直到1 或 0 为止。这样递归就很明显了，这里用第二种方法求解，我们设dp数组，它的意义和上面说的一样。

（1）首先初始化dp数组。当第一个数字是1的时候，后面肯定都是1.这样dp[i][1] = 1；就确定了。

当第一个数字是n时，那么n = n + 0，也只有1种，所以dp[i][i] = 1也是确定的，同理，当 n = n-1时，后面那个1不可再分，也只能是1中，

这样初始化工作完成。

（2）初始化完成之后，我们分析一下规律。

我们先把n分成两个数字a和b，a从n到1递减，b=n-a，那么就有两种情况：

1.a >= b 

2 a < b 

情况1：当a >= b 时，我们直接计算sums(b)即可，这个sums(b，b)的值就是当总和为n的时候，第一个数字是a的排列种数。sums（x，y）函数定义：当n= x时，第一个数字从1到y的所有可能种类数的和。也就是从dp[x][1]一直加到dp[x][y]，设立这个函数是必要性可以看情况2.

情况2：当 a < b 时， 就是说第一个数字小于第二个数字，那么如何让这样的情况也符合条件呢，那么就让第二个数字b拆分，拆分成a和b-a两个数字，这样第2个数字就小于等于第一个数字了，比如说：5 = 2 + 3 = 2 + 2 + 1，这样我们调用sums函数传参为sums(3,2)，也就是说计算总和n=3，但是第一个拆分数字小于等于2的情况一共有多少种。也就是说对于这个n=5的例子中，以2为第一个数字的情况种数就等于3的以小于等于2为第一个数字的情况数之和。

综上所述，没输入一个数字n，就直接输出sums(n,n)，就可以算出题目结果。测试AC代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
const int N = 124;
int dp[N][N];

int res = 0;

int sums(int b,int a){
    int res = 0 ;
    for(int i = 1 ; i<= a; ++i){
        res += dp[b][i];
    }
    return res;
}
void init(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 0 ;i < N ; ++i){
        dp[i][1] = 1;
        dp[i][i] = 1;
        dp[i][i-1] = 1;
    }
    for(int i = 3 ;i < 121; ++i){
        for(int j = 2; j < i - 1; ++j){
            int n = i , a = j, b = i - j;
            if(a >= b){
                dp[i][j] = sums(b,b);
            }else{
                dp[i][j] += sums(b,a);
            }
        }
    }
}

int main(){
    int n;
    init();
    while(cin>>n){
        cout<<sums(n,n)<<endl;
    }
    return 0 ;
}