11.植树和方阵问题

综述

1.植物问题的考点如下：

1. 根据植树的情况可以分为
   • 两端植树
   • 单端(环形)植树
   • 楼间植树

• 2.不移动植树
• 3.容斥原理植树问题 (交叉题型)
  • 容斥原理 容易和其他结合在一起考察
    • 容斥原理和植树问题相结合
    • 容斥原理也可以和周期结合在一起，

2.方阵问题，两个考点

• 普通方阵
• 容斥与方阵

植树问题

特定场景套公式。

植树问题主要分成三大类情况：

1. 两端植树：
   • 公式：棵数 = 路长 / 间隔长度 + 1
   • 案例：
     • 一条公路上植树，没间隔5m种一颗，10m的路长种了几颗？ 3棵树
     • 路长20m，两端植树，每4m植一棵树，可以种多少棵树？
       • 20/4 = 5段，分成5段，+ 1 = 6棵树
     • 两端植树一定除的尽，如果除不尽，就不叫两端
2. 单端（环形）植树
   1. 两种类型：环形和单端，场景不完全相同，但是公式一样
   2. 棵数 = 路长 / 间隔长度
   3. 案例
      1. 一条路10m，每间隔5m种一棵树，只有一端种树，从这端开始，一共种多少棵树？ 10/5 = 2
      2. 环形路长20m，每间隔5m种一棵树，一共能种多少棵树？ 20/5 = 5

• 3. 楼间植树：两幢大楼之间种树，两端不需要植树，因为两端是大楼
  • 公式：路长 / 间隔长度 - 1
    • 案例：
      • 两幢大楼之间种树，相距15m，没间隔5m种一棵树，总共种多少棵树？15/5-1 = 2 棵树

注意：

1. 分清楚是两端、单端、环形还是楼间
2. 两侧种树 要 × 2
   1. 马路是双侧种树

例题

1.在一片长20米宽10米的长方形的地上植树，每两棵树之间的行距和列距均为2米，则在这片长方形的地上最多可以植（）棵树。

A.50
B.55
C.60
D.66

解析：

最多两端种树，20/2 * （10/2+1） = 60 棵树 错误解法
正确解法： (20/2 + 1） * （10/2+1） = 11 * 6 = 66棵树

2.某文艺汇演的舞台为一个边长为10m的正六边形，节目“千手观音”中，演员需排成一列正对观众，为保证演出效果，两个演员之间要保持50cm的距离，问该舞台最多能站多少名“千手观音”的演员？

A. 31
B. 35
C. 39
D. 41

解： 这道题目出的不好，容易引起歧义。(舍去)
错误猜测1：

猜测：只有正六边形面向观众的那一侧才站演员。
下面接近观众的三边。底边 21位，两条侧边，猜测一边20位，

错误猜测2:

演员要排成一列，正对观众。与观众席平行。所以是六边形的中轴。
10 * 2 / 0.5 + 1 = 41 选择D

竖着站，因为是千手观音。所以人要竖着站。所以取竖向最长
正确：

10 * \(\sqrt3\)/ 0.5 + 1
\(\sqrt3\) = 1.732 所以结果为 35个人

3.某机构计划在一块边长为18米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每隔2米插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要（ ）面彩旗。

A.32
B.36
C.44
D.48

解：

四角插旗。18/2 = 9 段。除去两端一共8段，四条边，所以一共32端 + 四个端点 = 36 面旗子

方法2:

本质上是环形种树。 直接 18 * 4 / 2 = 36

4.为加强治安防控，现计划在一段L形的围墙（如下图）上安装治安摄像头，其中A点到B点长度为750米，B点到C点长度为1350米。按要求ABC三个位置必须安装一个摄像头，且相邻两个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围墙至少需要安装（ ）个摄像头。

A.14
B.15
C.16
D.17

注意：

• 这道题目是拐点植树
• 等间距植树

ABC构成L型图形。
解：

没有说距离，假设距离为x，那么x 是 75和135的公约数，因为要两端植树，这个公约数一定是最大公约数，这样才能保证最小摄像头。
1350 = 5 * 9 * 3 * 10
750 = 5 * 5 * 3 * 10
所以最大公约数是150，所以摄像头的数量是 1350 / 150 + 750/150 + 1= 9 + 5 + 1 = 15 >

5.某市计划在一条笔直公路的两侧每隔8米种一棵木棉树，并把植树任务交由甲、乙两组工人完成，若甲组先做3天，余下的任务由两组合作，则再做4天恰好完成。若乙组先做10天，余下的任务交由甲组，则再做2天恰好完成。已知甲组比乙组每天多种5棵树，则这条公路长（）米。

A.1224
B.1232
C.1240
D.1248

解：
这道题目和工程问题结合起来了。好。

方法1:

第一种情况：甲做了7天，乙方做了4天；第二种甲做了2天，乙方做了10天
所以 乙的效率为 12x+10 = 11x+35 得到乙的效率为x=25 甲的效率为30
树的数量为：310棵树 310 / 2 = 155棵。154 * 8 根据尾数法选择B

注：等间距种树，拐角种树，间隔长度为长度的公约数。

• 2肯定是18的公约数。这有啥用，记着干啥

两端植树：
单端（环形）植树：棵数 = 路长 / 间隔长度
楼间植树：棵数 = 路长 / 间隔长度 - 1

注意：

1. 分清是两端、单端（环形）、楼间
2. 注意两侧种树要 × 2

不移动植树

什么是不移动植树？ 原来树已经种好了，现在改了间隔。那么有多少棵树不需要移动？

方法：（最小公倍数不移动）
1、明确总长度
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵数（反向问法：再挖几个坑？）

例：长144米公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，现在要改成每隔4米植一棵树，有多少不需要移动？

• 间隔为12 不需要移动。144 / 12 + 1 = 13棵。想当于将间隔换成3和4的最小公倍数，看能植多少棵树 ？
• 间隔为3m，可以种 144/3 + 1 = 49棵树
• 间隔为4m，可以种 144/4 = 37棵树
• 间隔为12m，可以种13棵树
• 13棵树不需要移动，所以当间隔为4m的时候，还需要植24棵树
• 13棵树可以看成两个集合的交集，可以引入集合，这样就引入了集合相关的考点，比如容斥原理

例题

1.某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35米的路灯一共有21盏，现将路灯的间隔缩短为25米，那么有（ ）盏路灯无需移动。

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

解:

经典场景，直接套公式。35 和 25的 最小公倍数 25 * 7 = 175 原来路长有 20 * 35 / 175 + 1 = 5 棵
这里没有考虑到单双侧。双侧应该比较难于计算。因为21 没办法拆成两份。
这有可能挖坑

2.某公园举办春节花展，在周长400米的中心区布置了环形花槽，并在花槽上每隔16米挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一些灯笼，但仍保持灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有5只旧灯笼没有移动，则调整后的灯笼间距最大为（ ）米。

A.12
B.10
C.8
D.5

注：不移动植树可以和 双端植树，环形植树向结合。

解：

不移动植树逆向了。
环形区域 400/间隔 = 灯的数量，说明新的间隔和16m的最小公倍数是 400/5 = 80
新的间距要最大。16 和x的最小公倍数为80 ，同时x要最大。
选项种 10，5是5的倍数。假设为5，确实最小公倍数是 80。如果为10，那么最小公倍数也确实是80。选择10.因为间距最大。

引申题：
某公园举办春节花展，在周长400米的中心区布置了环形花槽，并在花槽上每隔16米挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定将灯笼的间隔缩短为10米。那么有（ ）盏路灯无需移动。

A.12
B.10
C.8
D.5

解：

环形种树
一个逆向，一个顺向。最小公倍数为80，所以是5盏路灯。

容斥原理植树问题

将容斥原理和植树进行结合。
方法:求棵数+容斥原理公式运用

例题

1.某个障碍跑项目需要在100米长的跑道上布置障碍（起点和终点均不布置）。
如果从起点开始，每隔4米布置一个甲障碍，每隔6米布置一个乙障碍，甲、乙障碍的重合点则不布置甲障碍。则跑道上总共布置（）个甲障碍。

A.16
B.17
C.24
D.25

考点: 可以画图

• 集合的交集
• 楼间种树

解：

两端不设置。
4m一个，则100/4 - 1 = 24个
6m一个，则100 / 6 = 16.6 所以 16个
4和6的最小公倍数 是 12，因为 100 / 12 = 8.4个 所以 是重合了8个
因为重合点不设置，所以 共布置了 24 - 8 = 16个甲障碍

延伸：

当将100m换成96m，此时甲：23个。乙是15个。96/12 - 1 = 7个。所以7个重合点。所以是23 -7 = 16个，跑道上共设置16个甲级障碍。

2.开学前，某大学准备在一条长180米的校道两侧从起点到终点装饰若干条迎新宣传语，学生会要求每3米有宣传语，研究生会要求每4米有宣传语。为同时满足上述要求，则一共需要准备宣传语（）条。

A.91
B.92
C.102
D.104

假设：宣传语是横向和路垂直

解:

重叠问题。
3m一个，横向。61个
4m一个，横向，46个
3和4的最小公约数是12，180/12 +1= 16个。 16个重叠的点。所以 61 + 46 - 16 根据尾数法，选择A

3.某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为60公里的公路上安装限速标志和测速仪器。具体方案是：从距离甲镇3公里处开始安装限速标志，然后每隔4公里再设置一个限速标志；从8公里处开始安装测速仪器，然后每隔9公里再设置一个测速仪器。请分析各种考法。

都是限速标志，最开始间隔3公里，后面都是4公里
都是测速仪器，最开始是8公里，后面都是9公里

都差了一公里，3与4的差距，8与9的差距。

所以总长度按照61公里算
4公里一个，甲端不植，共计 61/4=15 余1 ，所以是 15个。甲端不植树，乙端植树吗？
9公里一个，甲端不植，共计 61/9=6 余7，所以是6个
最小公倍数是36，共计 61/36=1 余 25 所以是1个

3.某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为60公里的公路上安装限速标志和测速仪器。具体方案是：从距离甲镇3公里处开始安装限速标志，然后每隔4公里再设置一个限速标志；从8公里处开始安装测速仪器，然后每隔9公里再设置一个测速仪器。假设单独安装一个限速标志费用为500元，单独安装一个测速仪器费用为800元，如果限速标志和测速仪刚好在同一个地点安装，则可以节约安装费用，此时安装两种设备总共只需要1000元。问最终安装总费用是多少元？

A. 10600
B. 11200
C. 12000
D. 12300

解：

由上面可知，14 * 500 + 5 * 800 + 1000 = （70+40+10）* 100 = 12000

方阵问题

什么是方阵问题？场景是什么？

N阶实心方阵：总人数= \(N^2\)
最外圈：4N-4人 = 4(N-2) + 4个角落

• 另外一个角度，一条边上可以站N个人，一共4条边。每一个角落重叠了1次，所以4 * N -4
  相邻两圈相差：8人
• 最外面一圈人，和接下来一圈人。正方形最外层是一圈，紧接着向内是第二圈。 5环之内是4环
• 正方形最外层N个人，紧接着是N-2个人
• 相差人数：4N-4 - 4(N-2)+4 = 8

注：

1. 方阵求整体，巧用平方数
2. 去掉一行一列，去掉了2N−12N−1
3. （1）猜：平方数 （2）两个实心方阵组成新的实心方阵，（常考6, 8, 10）
   1. 两个小正方形 变成一个大正方形
   2. 常见平方数：
      1. 3，4，5
      2. 6，8，10
      3. 12，5，13

注意：根号数

1. \(\sqrt(2)=1.41414\)
2. \(\sqrt(3) = 1.73\)
   1. \(17^2=289\)

例题

1.某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估计进行第一次排列，发现多出99人，于是又将每行和每列多加了4人进行排列，发现缺少37人。问学校共有运动员多少人？

A.256
B.289
C.324
D.361

解： 套公式

假设方阵一行人人数第一次排为N，总人数为\(N^2\)
\((N+4)^2 -37 = N^2\) + 99 得出 4*（2N+4） = 136 所以 N= 15
总人数15^2 + 99 = 225 + 99 尾数法 选择C

更快点方法：带入法：

结果为x，则X+37 是平方数，X-99 是平方数，带入法

2.某灯光秀表演中，无人机群先排列成红、绿两个正方形实心方阵，然后融合并变换灯光，形成一个黄色的正方框形空心方阵。原红方阵最外侧每边有8架无人机，且原红方阵恰好可填满黄方阵的空心，原绿方阵最外侧每边的无人机数量比黄方阵少4架。则参加灯光秀表演的无人机共有（）架。

A.260
B.233
C.196
D.185

解：

红方无人机方阵 N=8 64架
空心方阵的变长为N=8，所以黄色方阵的N=10 绿色方阵的N为6，所以 无人机的数量为64 + 36 = 100

看来，空心不是只有最外层，最里面啥没有

代入法：

无人机+64 是一个平方数。324 = 18* 18 297 不是平方数，196 + 64 = 260 不是平方数，185 + 64 = 249 不是平方数
选择A

直接算：

设红色方阵为N，则黄色方阵为N+4
则（N+4）^ 2 = N^2 + 64 + 64 = N^2 + 128
4 * (2N+4) = 128 得到N= 14 总的无人机数量为 18^2 - 64 为260

3.用原味和海鲜味两种口味的罐装薯片组成一个实心方阵（所有罐装薯片大小完全相同），最外层都是原味罐装薯片，从外往内每层按原味罐装薯片、海鲜味罐装薯片相间摆放。如果最外一圈的正方形有原味罐装薯片44罐，那么摆成这个实心方阵共需海鲜味罐装薯片（）罐。

A.60
B.62
C.64
D.70

解: 关键是需要找到递推公式

44 = 4N - 4 N= 12 ,需要6层的原味，6层的海鲜。 N的大小依次递减，N1=10，N2 = 6 N3= 2
所以总共需要 (10+6+2）* 4 -4 * 3= 72 - 12 = 60 选择N

4.某学院有新生两百多人，将学生从1开始依次编号，选取编号为3的倍数的学生，正好构成新生运动会开幕式方队，选取编号为m（3 < m < 10，且m为整数）的倍数的学生，恰好构成闭幕式方队，问该学院新生人数有多少人？

A.242
B.243
C.245
D.246

出的很好。能看懂题目，但是不好做。
解:

200 ～300 大概有多少个编号为倍数的学生？ 大致有多少个？3的倍数 3 乘上一个数x<=246 ,x 是82 所以 最多82个数，81来算。
3 * 1 到3 * 81 一共81个数。所以数目在243 ～245之间。
平方数肯定比81要小。取64 或者 49，36等 。
246 / 9 = 27 ***
246/ 8 = 30***
246/7=35***
246/6 = 41***
246/5 = 49*** 所以 是245 = 49 * 5 所以选择 C

有简便方法吗？

周期为3，周期为5，这是周期问题。

牵扯到容斥和周期。这两个要经常看。

专项提高

1.育才中学有一条150米长的小道，学校准备在小道的两边分别按照一棵梧桐树、一棵桦树、一棵梧桐树……的顺序依次种树，已知同一边两棵树的间隔为3米，小道的起点、终点均要求种树，且起点均为梧桐树，那么总共需要种（ ）棵梧桐树。

A.26
B.50
C.52
D.54

解：
和周期问题交叉在一起。

150 3m一个间隔，一共可以种51棵树。2棵树一个周期，一共有25个周期，刚好接下来似乎梧桐。所以一侧是26棵梧桐树。
两侧是 52棵树

猜测：

倍数 C是A的两倍。猜C

2.有一个长方形花坛，长为10米，宽为8米。现在要在花坛四周安装栅栏，要求4个顶点处各插一根木桩，除顶点处的木桩外，每边还要插若干木桩，且每两根木桩间的距离至少为3米，则最多可以插（ ）根木桩。

A.10
B.12
C.14
D.16

解析：

用到了最多。距离最少是3m 且4个顶点要插木章。那就 10 = 3 * 2 + 4 10m 一共3段，8m = 3 + 5 一共2段
环形种树，所以是 10

3.一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间距50米。林某每天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每分钟步行70步，每步大约50厘米，每天早上八点准时到达工作地点。那么这条林荫道两旁栽种的梧桐树共有：

A.44棵
B.42棵
C.22棵
D.21棵

求总长度，一分钟是350厘米，大致是3.5m，半小时是 3.5 * 30
3.5 * 30 / 50 + 1= 22 两侧是44棵树

猜测也是22

(21 +1 ）* 2

4.某圆形建筑的外围计划摆放绿萝、蝴蝶兰和帝王花，已知圆形建筑的外围周长为200米，每隔5米放一盆绿萝，相邻的绿萝中间摆放两盆蝴蝶兰和一盆帝王花，且帝王花必须摆在两盆蝴蝶兰中间，则分别需要绿萝、蝴蝶兰和帝王花各（）盆。

A.41、82、41
B.40、78、39
C.39、78、39
D.40、80、40

解析:

环形 植树
绿萝共有 200 / 5 = 40 40个间距，40个空隙，需要40盆帝王花，80盆 蝴蝶兰
选择 D

5.施工队给一个周长为40米的圆形花坛安装护栏，刚开始，每间隔1米挖一个洞用于建栏杆。后来发现间隔太远，决定改为每0.8米挖一个洞。那么至少需要再挖（ ）个洞。

A. 39
B. 40
C. 41
D. 42

解：

环形种植： 40 / 1 = 40
1和0.8的最小公倍数 是 4m。所以 40/4=10 重叠了10个。
40/0.8 = 50个。重叠了10个，所以需要再挖 40个

注意：0.8 和1 的最小公倍数。 0.8 * m = 1 * n 其中m和n是整数。m=5 4/5 和1的最小公倍数是20/5 = 4m

6.某公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，一共挖了49个坑。现在要改成每隔4米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（）个。

A.8
B.9
C.11
D.13

解:

3 * 48 / 4 = 36
3 * 48 / 12 = 12
重叠了12个，为什么不对？
注意这个是两端问题。所以要 +1 是，13个。

引申：在星期天问题中，每隔3天，实际周期是4天；在植树问题中，每隔3米，实际就是3米。星期问题中，一个点是一天。而植树问题中一个点就是一个点。

7.某公司计划在年终庆典上用若干无人机进行方阵表演。活动当天突然有41台无人机发生故障无法使用，剩下的无人机恰好仍能组成方阵，但比原计划少了一行和一列。则原计划方阵表演使用的无人机数量可能是（）台。

A.400
B.441
C.484
D.529

解：

少了一行一列，所以少了2N-1 = 41 所以N=21
所以，无人机的数量是21的平方是441

484 = 22 * 22
529 = 23 * 23

8.某部队的全体官兵刚好排成一个方阵，最外层人数是128人，则该部队共有多少名官兵?

A. 529
B. 783
C. 1089
D. 1122

解：

最外层是4N-4 = 128 所以N= 33，所以共有 33 * 33 选择C

783 是 多少的平方？29 ^ 2

9.学校校庆计划进行方阵表演，男女同学按照最外层是男生，从外往内每层按男生、女生相间排列，已知最外层有60位男生。问整个方阵男生比女生多多少人？

A.16
B.24
C.32
D.40

解：

60 = 4N-4 N=16 方阵时满的吗？
16/2 = 8
两层之间差8个人。所以结果一定是8的倍数。8 * 4 = 24
计算错误，8 * 4 = 32

10.某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗方阵，两个方阵分别入场完毕后又合成一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成新方阵的最外圈。已知彩旗方阵比鲜花方阵多28人，则新方阵的总人数为（ ）。
A.100
B.144
C.196
D.256

解：

6,8,10
平方数：64 - 36 = 28 所以是100人

11.将某年级若干名学生排成一个方阵学习太极拳，已知方阵由外到内第三层有76人，则该方阵共有学生（）人。

A.484
B.529
C.576
D.625

第一层有 76 + 16 = 92人
92 = 4N-4 所以N= 24 所以共有576人

小结

三遍（先问题、再题干）（问题圈谁？）植树问题和方阵问题非常好判定，要记住题型特征，实现考场快速识别题型，题干的表述，两端植树？环形植树？楼间植树？方阵。

15:03～ 18:16 大约3个小时
快崩溃了。一道一道做，不要慌。扛过去就好了。

. 1. 看新闻，每天看新闻，不看不行。9月份开始，就完了
1.