13.经济利润问题

13.经济利润问题

综述

经济利润问题的难点在于：

• 量多，名词很多
• 乱
• 计算相对较大（多条路径，选错了）
• 题目较长

趋势：用资料分析的技巧解决。

• 有的例题 可以映射为资料分析中的基期，现期，增长率等。此时可以快速套公式
• 比如 成本可以映射为基期，售价可以映射为现期，利润率可以映射为增长率
• 当全部商品中，一部分商品利润率为a, 另外一部分利润率为b, 那么 此时混合利润率可以用十字交叉的方法来做

注意：通过这几次听课，我发现听课还是有好处的。听课的目的

• 有些知识自己没有注意到过
• 有些题型 场景，有些方程怎么求解好求解。这都是需要沉淀的
• 有些题目存在有些聪明解法更接近本质，但是你没有发现。比如牛吃草本质是追及问题

光做题，不总结，不看书，扩展思想，是不行的。股票也是如此。没有什么永恒不变的

基础经济

1.识别特征:
....进价.....利润（利润率）......,销售价......

注意：名词很多

2.常用公式（基期、现期、增长量、增长率）：（一些概念和资料分析相同，所以可以用到资料分析相关的技巧)
（之前确实没有发现)

• 基期：对应经济中的“成本”
• 现期：对应经济中的”售价“
• 增长量：利润
• 增长率：利润率

(1). 现期 = 基期 + 增长量 vs 成本（进价）+ 利润 = 售价
(2). 增长率 = 增长量/基期 vs 利润率 = 利润 / 成本
(3). 现期 = 基期 * (1+增长率） vs 售价 = 进价 * （1+利润率）
(4). 总价 = 单价 × 数量 跟乘积增长率没有关系吧 r = r1+r2+r1 * r2
(5). 定价 × 折扣 = 售价

• 注：定价的9折 = 定价 × 0.9
  总利润 = 单利×数量 = 总收入 - 总成本

注意：总价 = 单价 * 数量 是A = B * C 的形式，当B增加r1,C增加r2, 此时A增加了多少？ 与混合增长率不完全一样，但是公式是一样的

• B * C * (1+r1) * (1+r2)

混合增长率：

• 基期，第一年相比去年增加R1, 明年又同比增加R2
• 售价 先下降R1,在下降R2 ，这就传统的混合增长率

3.解题思路：根据等量列等式
（1）若只有单价商品，优先切入点为进价；若出现多件商品，优先切入点为商品数量
（2）若出现折扣，一定要注意区分价格（区分售价、进价、卖价）

4.使用资料分析来解决问题

存在资料分析的考法。有如下4种：

(a). 利用基期、现期、增长量、增长率关系

• 增长量 = 现期 - 基期 = 现期 / (1+r)
• 现期量 = 基期 + 增长量 = 基期 * (1+r)
• 基期 = 增长量 / r

(b). 线段法混合思想：利润率 = 利润 / 成本

• 使用线段法要符合基本公式： A * r1 + B * r2 = （A+B) * r，则 A/B = r-r2/r1-r 。在上述公式中，一般A和B表示量，比如 男生女生平均份，A和B一般指的是男生女生人数，表示量，而r1和r2表示率。比如平均分等。
• 在利润问题中，量一般是 成本，率一般是利润率。
  • 比如 全部商品中，一部分商品卖了A价格，利润率5%，一部分商品卖了B价格利润率 30%。此时就有一个混合利润率的问题。满足上面的十字交叉公式： 数量1 * 利润率r1 + 数量2 * 利润率 r2 = （数量1+数量2） * 混合利润率r3

（c). 连续涨价或者跌价： r间 = r1+r2+ r1 * r2

• 连续涨价或者跌价对应 于间隔增长率。
  • 一件商品原价100，节假日先长10%，再长10%
  • 间隔增长率：第二年相比于上年增长r1，第三年相比于第二年增长r2，那么第三年相比较于第一年的增长率就是(1+r1)(1+r2) - 1 = r1 + r2+r1 * r2
  • 正向：r间隔 = r1 + r2+r1 * r2
  • 反向：r1 = （r间隔 - r2 ） / （1+r2）
    • r2 = （r间隔 - r1） / （1+r2)

(d). A = B * C 解题法 一般是最值问题

• 数量和单价利润的tradeoff

例题

1、某家政公司承诺以低于市场价20%的价格为小区业主提供服务。如果有业主向该公司支付了服务费4000元，则与市场价相比优惠了（）元。

A. 400
B. 600
C. 800
D. 1000

解析：

方法1:
原来价格的80% 是4000元，那么原来价格是5000元，所以便宜了1000元，

本质上是求 增长量 基期是原价，现期是优惠价。下降了20%。 那么 r = （现期 - 基期) / 基期  
增长量 = 现期 - 基期
r = （现期 - 基期)/ 基期 = 增长量 / 基期
1+r = （增长量+基期） / 基期 = 现期 / 基期
增长量 = 现期  - 现期 / （1+r）  
当r = 1/n的时候，出现了变体，即 增长量 = 现期 * （r）/ 1+r = 现期 * / （1+n）
当r = -1/n的时候，即r<0. 即 增长量 = 现期 * -1 / n-1

解法2:
基期是原价，现期是优惠价。当r是正的时候，增长量 = 现期 / （1+n）；当r为负的时候，增长量 = -1 * 现期 /（n-1）
现期与增长量的关系公式，此时r=-20%。所以n=5. 所以增长量 = -1 * 4000 / 4 = -1000 选择D

充分反应了资料分析公式还是不熟。
ps：还是不熟悉，需要反复的将其放在大脑中

2、某商店购进一款无线路由器，进价100元/个，加价30%出售，半年后将剩下的打7折全部售出，共盈利7410元。若成本利润率为19%，则打7折售出的无线路由器共有（）。

A.90个
B.100个
C.105个
D.110个

解析：

方法1:
十字交叉法，数量1 * 利润率r1+ 数量2 * 利润率r2 =  （数量1+数量2）* r
数量1+数量2 = 7410 / 19 = 390个
r1=0.3 r2=-1*0.3   
数量1/数量2 = （-0.3 - 0.19） / （0.19 - 0.3） = 49 / 11 

390/60 * 11 = 
上述明显不对，错误在r2 是在130元的基础上，打7折，所以是r2=1.3 * 0.7 - 1 = 0.91 - 1 = -1 * 0.09

数量1/数量2 = （-0.09-0.19）/ （0.19 - 0.3）= -0.28 / -0.11 
所以110 选择D

方法2:
其实是平均数，所以可以直接用十字交叉

数量1 * 30 + 数量2 *（-9） = （数量1+数量2） * 19 = 7410 直接使用十字交叉，平均数。
根据十字交叉，可以得到数量2一定是11的倍数，所以直接选C。很多时候，都是根据少量计算获取局部信息，而后依据局部信息取得答案的

3、某商家购进一批商品，每件成本为27元，最初将商品定价为每件40元，该商家经过百分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率不超过20%。问每次降价的百分率至少是：

A. 20%
B. 15%
C. 10%
D. 5%
解析：

方法1:
每件商品的原始利润率是13/27 
r1=r2

想当于 x * （1+r)*(1+r) = 40

40 / (1+r)(1+r) < 27 * 1.2 = 32.4 

1+2 * r + r * r - 40/(27 * 1.2) > 0
求r最小值？

一个一个带入吗？不懂哎。 只能猜测是15%

解法：由40 下降到 32.4,降了两次价格。r为负数
混合增长率r = 7.6/32.4 = 2r+r * r 只能选择C

这里没必要直接算，直接导入 当r=0.1 那么2 * r + r * r = -0.19  40 * 0.81 刚好满足。

这里注意陷阱：1. r为负数。混合增长率的公式如何变化。

4、某种农作物原来面产为600千克，改进种植技术后，苗产增加100千克，且由于品质改善，每干克的售价提高1元，每亩产值比之前增加1100元。则原来每亩产值是多少元？

A.1800
B.2100
C.2400
D.2700
解析：

方法1:
1100 = 100 * 原来的价格 + 700  得出原来的价格是4元。  每亩产值 = 价格 * 产量 = 4 * 600 = 2400

拓展：
1、
针对 A = B * C 这种形式，一般有两种考法：

• 考点1: 量层面 A= B * C （没有找到合适的例子）
• 考点2: 率层面， 乘积增长率

修改如上提醒：假设亩产原来为500元，技术改进之后，增加100g，单价增加10%。求亩产价值相比较原来的增幅？

因为 每亩价值 = 亩产 量 * 单价 此时就是A = B * C的形式。

此时 新的亩产价值 = 亩产量（1+r1） * 单价 * （ 1 + r2 ） = A * （1+r1）* B * （1+r2）
等价与 A * B ，即基期 先增幅r1，再增幅r2。与乘积增长率联系在了一起。

因为r1=0.2 r2=0.1 所以间隔增长率 = r1+r2+r1 * r2 = 0.32

2、在上述条件下，跟定增长量比如3200元，是否可以求出基期量？ 单价是否可以求？

增长量 = 现期量 - 基期量
增长率 = 增长量 / 现期量
所以 基期量 = 3200 / 0.32 = 10000

基期单价 = 基期亩产价值 / 基期亩产量

方程法

特征：一般出现钱数，使用设方程的方法。步骤如下：

• 通过列表，搞清楚关系。比如进价，售价，打折后的售价，继而引出了利润，利润率
• 设未知数
• 根据等量设式子

例题

1、甲、乙两店同时开展促销活动，甲店单件商品的标价超过50元可以立减20元后再打9折，乙店单件商品的标价超过50元可以打8折后再立减10元。现两家店都在销售的3种商品，相同商品在两店价格相同，分别为45元、75元、85元，某人准备购买其中两种商品各一件，最少的花费在以下哪个范围之内？

A.90元以下
B.90~93元
C.93~96元
D.96元以上

解析：

方法1:

两种打折方法：（1）0.9x - 18 （2）0.8x-10

由 0.9x - 18 < 0.8x - 10. 得出当x<80的时候，用第一种打折方案；当x>80的时候，用第二种打折方案

所以75，使用第一种方案最好，75 * 0.9 - 18 = 75 * 0.8 + 7.5 - 18 = 42 + 7.5 = 49.5

因为 49.5 + 45 = 94.5 所以选择C

2、某羽毛球俱乐部推出充值会员优惠活动，具体为月卡会员费用打八折，年卡会员费用打七折，充值总时长1年的月卡比1年的年卡所需费用，打折前后分别多88元和100元，问打折后充值18个月的会员最少需要：

A.不到340元
B.340-400元之间
C.400-460元之间
D.460元以上

解析：
方法1：
非常生活化的问题。年卡，月卡。再跟打折结合起来。问题就来了。

方法1:
求出年卡，月卡多少钱，然后办一张年卡+月卡，刚好18个月。

12*x - y = 88
9.6x - 0.7y = 100

x= 32 
y = 12 * 32 - 88 
x + y =  13 * 32 - 88 = 390 + 25 - 88 
求的是 0.7 y + 6 *x  最后还是求错了

32 * 6 * 0.8 + （12 * 32 - 88） * 0.7  = 192 * 0.8 + （384-88）* 0.7 = 160 - 6.4 + 210 + 2.8 = 370 - 4.6 选择B

方法2:

只设置一个未知数。设年卡x。
（x+88）* 0.8 - 0.7x = 100
一个式子比两个式子好解

赋值法

1、给比例，求比例

• 可以使用比例思想
  2、三量关系只知其一：
• 总价=单价×数量
• 总量=效率×时间
• 路程=速度×时间

操作方式：

• 1.根据条件对成本或者售价进行赋值即可
  • 难点：给谁赋值？一般是谁变化，赋值谁
  • (1). 某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%
    • 利润率 = 利润/成本
  • (2). 商店销售某种商品，先按定价卖了300件，打七五折卖了200件，后在此基础上再打八折卖完了剩下的100件
    • 赋值定价100
• 2.商品数量有比例，优先赋值数量的个数（5、10）
  • 并不影响对成本和售价的赋值。可以分开赋值

例题

1、某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不变，此时利润率是多少？

A. 40%
B. 30%
C. 60%
D. 50%
解析：
属于上面介绍的“给比例，算比例”

方法1:
赋值法。直接赋值成本为100，利润率为20，售价为120。现期成本赋值则为80. 新的利润率为50%

方法2: 用资料分析的方法

基期 对应成本。现期对应售价。增长率是20%

现在基期降低20%，那么增长率如何变化？

A = B * （1+r）

方法1:B降低20%，要想保证A不变，则1+r 增加1/0.8 = 1.25 1.2 * 1.25 = 1.25 + 0.25 = 1.5 所以新的增长率是50% 

方法2:间隔增长率为0. r1=-0.2 r2 = （0-r1）/（1-r1） = 0.2 /0.8 = 0.25 所以 是1.2 * 1.25 -1 = 6/5 * 5/4 = 1.5 

方法3： 还是使用间隔增长率。但是和我的不一样。
我的是 还是换算成A=B*C  A=B*（1+r1）* C * （1+r2）这种形式。其中B是原价，C是原来的增长率1.2 A对应售价。B和C变化率。

我的这种思考方式很奇怪，不知道我是怎么想到的。


而更妙的方法是 直接使用间隔增长率的思想，将基期看作成本，其进行了两次跳跃，第一次到 修改之后的成本，第二次到售价。
做完映射之后，间隔增长率是20%， r1=-20%，则r2= 20%-（-0.2）/（1-0.2） = 0.4/0.8 = 50% 直接就求出来 修改后定价到售价之间的增长率。太妙了

售价之间的变化模版： A，B，C  都是量的变化
A到B增长率是r1，B到C增长率是r2，A到C增长率是R。

注意：套公式快是快，但是一旦出错就是万劫不复。

2、 商店销售某种商品，先按定价卖了300件，打七五折卖了200件，后在此基础上再打八折卖完了剩下的100件，总利润为总成本的\(\frac{2}{3}\)。单件成本相当于单件定价的:
A.57%
B.54%
C.51%
D.48%

解析：

方法1:

赋值法：设定价100，75折，75元；8折，60元。售价总额为 30000+15000 + 60000 = 51000 
利润：成本=2:3 则 售价：成本 = 5:3 所以 总成本为 51000 * 0.6

成本为 51000*0.6 / 600 =  5100/100 = 51 所以选择C

方法2:使用资料分析的方法

成本-->售价-->75折售价-->6折售价

想当于

成本 --> 售价 --> 售价1

成本到售价1的间隔增长率为2/3  售价到售价1的价格增长率为     （0.6*100+0.75*200）/ 300 = 210/300 = 0.7  r2=-0.3

求r1。则r1 = （2/3 + 0.3）/0.7 =  错误

计算错误的原因是间隔增长率不是2/3 平均才是2/3


最终方法：
成本 --> 售价 --> 售价1 

售价1 为售价的0.7倍。  则 成本-->售价均值 * 0.85  增长率是2/3   所以 售价均值 * 0.85 / 成本 = 5/3
所以成本/售价均值 = 0.85 * 0.6 = 0.51 一步出来

基期是成本， 售价是现期，是原来售价的0.85倍，增长率为2/3，求 原始现期/基期 

方法3: 列方程

总成本 * （1+利润率） = 总收入
设成本为x，则 600 * x * 5/3 = 商品售价*300 + 商品售价 * 150 + 商品售价 * 60
得到 1000x = 510 * 商品售价

分段计费

分段函数，不同段价格不一样。比如税收，比如电价，阶梯计费，出租车费。
1、识别特征（计费规则达到分段点后变为不同费用）

• 例：…规定为：…1300元（含）以内的部分…，超出1300元部分…

2、解题方法：先分段，再汇总

• 先确定分位点，讨论费用涉及哪几个分段（不重不漏）

注：未知数时，不要设总长度为x，设最后一段为x更容易求解

例：某地出租车收费标准为：3公里内起步价8元；超出3公里的部分，每公里2元。小明打车坐了12公里，共花费多少钱？

例题

1、某市出租车价格为:2公里以内8元，超过2公里不足5公里的部分，每公里2元;超过5公里不足8公里的部分，每公里3元;8公里以上的部分，每公里4元;不足1公里按1公里计算。某位乘客乘坐出租车花了20元，该出租车最多行驶了多少公里?

A.7
B.8
C.9
D.10

解析：
方法1：

2公里8元 
2公里～5公里 每公里2元，最多6元
5公里～8公里 每公里3元，做多9元

此时已经超过20元了，所以最多一定小于8公里，选择A

函数最值

一般考察的是 一元二次方程 y= ax+b+c = （x-c）（x-d）
当取极值时，x = - 2 * a / b 或者 x = （c+d）/ 2

而在经济利润中，一般使用是对总利润求极值。即 总利润 = 单利 * 数量
判定：单价和销量此消彼长，问何时总收入/总利润最高？

计算方法（两点式）：如：y=(a-x)(b+x)

• 设次数，根据问法列方程，写成两括号相乘的形式
  • 销量和价格此消彼长，一般是价格下降1元，销量增加5件？下降了多少次，达到最大值。此时设次数为未知数
  • y=（50-x）（100+5x）
• 求出使方程等于0，解得x₁、x₂
• 求出两个x的平均值x=(x₁ + x₂)/2 ，此时y最值

例题

1、北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个40元的“冰墩墩”，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：

A.51元
B.52元
C.54元
D.57元

解析：
方法1:

利润为4
y = (4+x)（300-10x） 当y最大，x=13，则售价为44+13=57元

2、某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是

A. 5元
B. 6元
C. 7元
D. 8元

解析：
方法1:

利润为20元。设次数
y=（20-x）（120+20x）  当y最大，x=（-6 + 20）/2 = 7 所以选择C

3、某线上店铺将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。该店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价每提高1元，每天销售量就要减少10件，为保证每天至少获利350元，问该商品售价应为多少？

A. 小于13元
B. 13-15元
C. 15-17元
D. 大约17元
解析：接近最值。

y = (2+x)(100-10x)

当y最大值的时候，x=4 此时 y=360 售价为14元。 当售价为15元的时候，7 * 50 = 350元。所以选B
我做错了。

专项提高

1、五一节期间，某商场开展促销活动，将一款冰箱的价格下调20%销售。促销结束后，这款冰箱计划恢复原价销售，那么此时该商品的价格应上调()。

A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%

解析：

1、赋值法：100下调20%，是80，80上涨到100是25%

2、资料分析
增长量不变，基期变小了，增长率增大，大于20%，排除法，选择D

2、某地引进新的杂交水稻品种，今年每亩稻谷产量比上年增加了20%，且由于口感改善，每斤稻谷的售价从1.5元提升到1.65元。以此计算，今年每亩稻谷的销售收入比上年高660元。问今年的稻谷亩产是多少斤？

A.2200
B.1980
C.1650
D.1375

解析：

价格增加10%

A=B*C
B增加20%。C增加10%，则 A增加 32%  增长量/增长率 = 基期   （660 / 0.32 ）/ 1.5  * 1.2 = 660 * 4 / （8*0.04*5） = 6600/4 = 1650 

注意： 基期 = 增长量/增长率
      现期 = 增长量/增长率 * （1+增长率）

3、购买某商品可享满100元减30元的优惠。小李计算后发现，购买4件该商品的花费与购买3件的相同，则该商品的单价为（）元。
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60

解析：

1.代入法：
30 *4-30 = 30 * 3 选择A

2. 常识，优惠的价格刚好是少的那一件

4、一件商品售价100元/件时，卖出4件的利润与售价80元/件时卖6件的利润相同。则这种商品的成本是多少元/件？

A. 30
B. 40
C. 50
D. 60

解析：

方法1: 使用方程思想
每一件的利润的比例等于件数的反比
每一件利润之比为3:2 所以 100 与80差了20元，所以比例之差的一份为20元，所以 第一件利润为60元，所以成本为40元

方法2:列方程
设成本为x

5、某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润70元，如果按定价打九五折出售可获得利润100元，这款小家电进货价格所在区间是
A.400-450元
B.450-500元
C.500-550元
D.550-600元

解析：

1、30元是是总成本的5%，所以总成本为600元。

错误：30是售价的5%，所以进价为600-70 = 540
2、方程法： 0.9x-70 = 0.95x-100 得到x为600元 

6、某种商品如果每件降价30元，单价比打八折销售时贵10元，则这种商品的定价是多少元/件？
A. 200
B. 250
C. 300
D. 350

解析：

1. 售价x。x-30 - 10 = 0.8x 40*5=200

7、假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费不超过800元不纳税；（2）超过800元但不超过4000元的部分纳税10%；（3）超过4000元的部分纳税15%。已知张教授出版一部著作，纳税620元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A.9000
B.8000
C.7000
D.6000

解析：

800元不纳税，
800～4000 纳税 320元
620-320 = 300 300/0.15 = 2000元。
故稿费为4000 + 2000 = 6000

设未知数的时候，不要设总长度，设最后一段x。以此题目为案例，则x * 0.15 = 300 得出x=2000

8、某类商品按质量分为8个档次，最低档次商品每件可获利8元，每提高一个档次，则每件商品的利润增加2元。最低档次商品每天可产出60件，每提高一个档次，则日产量减少5件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是（）元。

A.620
B.630
C.640
D.650

解析：

(8+2x)(60-5x) 
x=4 此时y最大。y=40 * 16 = 640 选择C

9、某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元？

A. 60
B. 80
C. 90
D. 100

解析：

y = (4+0.4x)(20-x)  x=5的时候y取最大。15 * 6 =90 选择C

10、某企业设计了一款工艺品，每件的成本是70元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是120元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本。则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？
A. 100元
B. 102元
C. 105元
D. 108元

解析：

y = （50-x）（100+5x） 当x=15的时候，取最大值，此时利润为35，则此时售价为105

11、某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价格为4499元，销售价格为5699元。某单位以销售原价购买20台电脑，在此基础上，若销售价格每降低100元，就多购买2台。则该电脑制造厂商可在该笔交易中可获得的最大利润为（）元。

A.24200
B.24000
C.36000
D.31200

解析：

y= （1200 - 100x）（20+2x） 当x=1 此时 最大利润为1100 * 22 = 121 * 200 = 24200  

总结