12.行程问题

行程问题三大块

• 基础行程
  • 1.普通行程
  • 2.火车过桥
  • 3.匀加速
  • 4.等距离平均速度
• 相对行程
  • 相遇和追及
  • 环形相遇和追及
  • 多次相遇
  • 流水行船
• 比例行程

1.普通行程

公式：路程 = 速度 * 时间
S = V * T
图示法：

• 地点写两段，如甲、乙
• 人物写上下

注意：
1、1米/秒 = 60m /分钟 = 3.6km / 小时 ex：288km/h = 80 m/秒
2、一公里是1km
3、只给时间或者只给速度比例，即可使用赋值法（类似工程问题中的给定时间型 和 给定效率类型）

1、小李从山脚开始登顶，匀速走了1小时后到达一个凉亭，并在凉亭休息了半小时。继续走500米后，恰好完成登顶路程的一半。从山顶沿原路匀速返回时，他走了1小时又到了这个凉亭，继续走半小时回到了山脚。则登顶路程为（ ）米。

A.2000
B.3000
C.3600
D.4000

解析： 本质上是一道比例题目。 凉亭到山顶的距离和到山底的距离为 2:1 = 4:2。从两厅走500米此时 刚好到山顶，山底的一半。即3:3 所以 一份为500米，总的路程是6份，所以总距离为3000米，选择B

2.火车过桥

火车过桥一般两种情况：
1、火车过桥（从车头进入隧道 到车身完全驶出）
公式：S路程 = S桥 + S车
总路程 = 桥长 + 火车车身长度 = 火车速度 * 过桥时间t1

2、火车在桥（车尾 进入车头未露出，完全在隧道里面）
公式：S路程 = S桥 - S车
总路程 = 桥长 - 火车车身长度 = 火车速度 * 过桥时间t2

1、某公路隧道长1500米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公共汽车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时间为149秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为：
A.8米；5米/秒
B.10米；10米/秒
C.10米；15米/秒
D.12米；20米/秒

解析：
方法1: 这道题可以猜测出来
总路程=1500+车身长度
因为速度一定，故 时间之比为路程之比，完全在隧道中，路程为 隧道长度 - 车身；故 （隧道长度+车身长度）：（隧道长度-车身长度） = 151:149 ，故车身长度为1份
车长度为150份。隧道长度为1500米，所以车身长度为100米，速度为 1500/150 = 10米/秒

2、某隧道长1500米，有一列长150米的火车通过这条隧道，从车头进入隧道到完全通过隧道花费的时间为50秒，整列火车完全在隧道中的时间是：
A.43.2秒
B.40.9秒
C.38.3秒
D.37.5秒

解析：
由于速度不变，时间之比=路程之比 列车完全在隧道中的路程=隧道长度-车身
车头进入隧道到完全通过隧道 路程 = 隧道长度+车身 = 150 * 11 需要50秒
所以 列车完全在隧道中的路程 = 150 * 9 / （150 * 11） * 50 = 50 * 9 / 11 = 4.55 * 9 = 40.9 秒

注：这道题目不需要计算，只要列出 450/11 那么结果就显而易见了。

3、某铁路桥长1440米，一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全下桥用了21秒，动车的速度为288km/h，则整列动车完全在桥上的时间为（）秒
A.18
B.16
C.15
D.12

解析：
方法1:
21秒的历程为 = 铁路长度 + 动车长度
列车完全在桥上路程 = 铁路长度 - 动车长度
288km/h = 288 / 3.6 = 72 * 4 / （9 * 0.4） = 80米/s 21s的路程为 1680米，所以动车长度为 240m。240 / 80 * 2= 6s，所以 列车完全在桥上的时间为21 - 6 = 15s

3.匀加速

识别：匀加速、匀减速

匀变速运动的平均速度公式为 V = （V初速度 + V末速度）/ 2 = V初 + a/2 * t
其中设加速度为a，则 V末 = V初 + a * t

证明：t时间内，速度由V初 变为 V末。
设定加速度为a，则 V末 = V初 + a * t 。 当a固定的时候，每一个固定时间段的速度的增量相等。

t时间的路程为 S = V初 * t + 0.5 * a * t * t = （V初 + 0.5 * a * t）* t
故平均速度 V = V 初 + 0.5 * a * t = V除 + 0.5（V末- V初） = （V初+V末）/ 2

注意：
1、单位换算 1m/s = 3.6 km/h = 60m/分钟
2、

1、甲、乙两辆车同时从A地出发驶向B。甲车匀速行驶，乙车出发时的速度与甲车相同且均匀加速，1小时后其行驶的距离是甲车的1.5倍，此后乙车均匀减速，又过了1小时到达B地时，其速度是从A地出发时的0.5倍，问甲车还要多长时间到达B地？
A. 30分钟
B. 40分钟
C. 45分钟
D. 60分钟

解析：
解法1:
同向出发。初始速度相同。使用比例思想。
1小时后，甲：乙 距离之比 = 平均速度之比 = 2 : 3 得到：乙方的初始速度 ：1小时之后的速度 ：2小时之后的速度 = 2: 4 : 1

前一个小时的平均速度为3，后一个小时的平均速度为 2.5 其速度比例为 3:2.5
假设总距离为 3 + 2.5 = 5.5 ，那么甲用时间 5.5 / 2 = 2.5 + 0.25 小时，所以甲还要行驶 0.75* 60 = 45分钟。选择C

注：可以完全使用赋值法。

2、小李开车去某单位办事，计划全程匀速行驶2小时到达目的地。出发后头30分钟按计划速度行驶，此后50分钟交通拥堵，行驶的路程和前面30分钟相同。最后40分钟小李匀加速行驶，最终全程用时2小时到达。问他最后10分钟的平均车速是计划行驶速度的多少倍？
A.不到1.8倍
B.不低于1.8倍但低于2.0倍
C.不低于2.0倍亦不高于2.2倍
D.高于2.2倍

解析：整体平均速度相同。
中间的50分钟速度为 初始速度的0.6倍
（0.6 * v * 50 + a * v * 40 ）/ 90 = v 得到 30 + 40 a = 90 a = 1.5 即后面40分钟的速度是初始速度的1.5倍。

所以到终点的速度是 初始速度的 2倍，即2v。
40分钟由 v 加速到2v。由于是匀加速，所以每小时的速度的增量相同为0.25v。所以 在最后10分钟，其速度为 （1.75v + 2v） / 2 选择B

注意：匀加速，其相同时间内，速度的增加量相同。

讲师给的答案是C，但是我觉得他讲的不对。赋值法是对的。应该是我错了。但是我不知道哪里错了。错误的原因在于 40分钟开始的地方，我用的速度为v，而讲师用的速度不是v。

方法2:赋值法：
完全可以用赋值法。
速度为100m/分钟，距离12000m。30分钟行驶 3000m，50分钟行驶3000m，所以后面40分钟行驶 6000m，其均匀速度为150m/s。到此步骤没有问题。

1m/s = 3.6 km/h = 60m/分钟

3、一辆车从甲地行驶到乙地共20千米，用时20分钟，已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行驶的最大速度是多少千米/小时？
A. 100
B. 108
C. 116
D. 120

解析：没有初始速度。
假设初始速度为0，那么10分钟的时候，达到最大速度。0.5 * a * t^2 = 10 a= 20/100 = 0.2 所以，最大速度为 a * t = 10 * 0.2 = 2 千米/1分钟

所以速度为120千米/小时。选择D

4.等距离平均速度

判定：等距离

等距离平均速度公式 2 * v1 * v2 / （v1+v2）

证明：两段距离相等均为S。第一段速度为V1，第二段速度为V2。则平均速度 为 总路程 / 总时间
2 * S / （S/V1 + S/V2） = 2 * V1 * V2 / （V1+V2）

常用于：（等距离，不同速度）
1、直线等距离
2、一段路程往返，即直线往返
3、上下坡往返（上线坡一定是等距离，直线等距离变了个形）

1、小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上课。

某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了1个小时，假设小明当天平路骑行速度为9干米/小时，上坡速度为6干米/小时，下坡速度为18干米/小时，那么小明的家距离学校多远？

A. 3.5千米
B.4.5干米
C.5.5干米
D.6.5千米

解析：
没有平路和上坡路程之间的关系，一定使用了某些巧合补合了某些信息，要不然题没法做．
上下坡的速度平均速度为9和平路一致．

2、一辆汽车从甲地开往乙地，先以40千米/小时的速度匀速行驶一半的路程，然后均匀加速；行驶完剩下路程的一半时，速度达到80千米/小时；此后均匀减速，到达乙地时的速度正好降为0。问其全程的平均速度在以下哪个范围内？

A.不到44千米/小时
B.在44~45干米/小时之间
C.在45~46千米/小时之间
D.超过46干米/小时

解析：
两个1/4路程平均速度为 2 * 60 * 40 / 100 = 48km/h。 两个等距离的平均速度为 2 * 48 * 40 / 88 = 480/ 11

3、某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞走到达终点。一位选手在上午7点出发，9点到达了终点，全程未休息，其蛙跳、游泳和竞走的速度分别为每小时2干米、3干米和6干米。如果蛙跳和竞走的路程相同，则所有项目的总路程是（）。
A.无法计算
B.6千米
C.8千米
D.12干米

解析：蛙跳和竞走平均速度为 2* 2 * 6 / 8 = 3 km/h 和游泳的速度一样。巧合使得所有项目的总路程可以计算。
S = 平均速度 * 时间 = 3 * 2 = 6km

4、甲乙两人在相距1200米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为40米/分钟，乙为60米/分钟，狗为80米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距100米时狗跑了多少米？
A. 1100
B. 1000
C. 960
D. 880

相对行程

相遇与追级

1、甲乙两人在相距1200米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为40米/分钟，乙为60米/分钟，狗为80米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距100米时狗跑了多少米？

A. 1100
B. 1000
C. 960
D. 880

解析：

方法1:
狗跑的路程 S = 狗的速度 *  时间
时间t = 甲乙之间的距离 / （V甲+V乙） = 1200  / 100 = 12s
相聚100m，那么就是11s，所以路程为11的倍数。选择D

2、c地为a、b两地直线道路上的一点，甲、乙两人9:00分别自a、b两地同时出发匀速相向而行，甲的速度是乙的1.5倍，甲9:40到达c地休息10分钟后继续向b地前进；乙全程不休息，在10：40到达c地，问甲、乙相遇的时间为：
A.10: 00
B.10: 10
C.10: 20
D.10: 30

解析：

方法1:
核心在于求甲乙之间的距离 / (V甲+V乙)
当甲到C地后，设甲的行驶距离为3x，乙的行驶距离为2x。乙方一共用了40分钟，甲歇息10分钟，乙又行驶了2x/4 = 0.5x的距离。

乙到C地行驶的距离是 100分钟，是2x/2*5 = 5x。
当甲在C歇10分钟之后，甲乙之间的距离为 5x - 2.5x = 2.5x 
2.5x / （V甲+V乙） = 

5x甲乙医用40分钟。2.5x一共是20分钟。所以9点50再叠加20分钟，是10点10份。选择B

环形相遇和追及

上面是直形相遇和追及，现在修改为环形。跑道的形状是一个维度，再增加起始点不同。此时就有四种题型了。

1、环形相遇（同点相向出发）
\(S_{\text{和}} = V_{\text{和}} \times T_{\text{遇}}\)
相遇1次，\(S_{\text{和}} = 1\) 圈
……
相遇N次，\(S_{\text{和}} = N\) 圈
本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
第N次相遇和第N+1次相遇之间，两人的路程和是一圈。

2、环形追及（同点同向出发）
\(S_{\text{差}} = V_{\text{差}} \times T_{\text{遇}}\)
相遇1次，\(S_{\text{差}} = 1\) 圈
……
相遇N次，\(S_{\text{差}} = N\) 圈

本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差了一圈。

考点：
1、环形跑道，两个人同点不同点出发
2、环形跑道，两个人相向还是反向出发

1、小谢下班后，以2米/秒的速度在家附近公园的圆形跑道上慢跑。他发现邻居小钟和小崔也在该跑道上跑步，且某一时刻，他们三人在该跑道上的某处相遇，此后小钟每6分钟与小谢迎面擦身而过，小崔每12分钟从小谢身后跑过，假设小钟和小崔跑步的速度大小相同且恒定，则该圆形跑道的长度为（）米。

A.2380
B.2880
C.4760
D.6480

解析：

方法1:
一个同向，一个逆向，因为小钟和小崔速度一样。一个综合速度是V1+V 一个速度是V1-V
因为两者时间比例是6:12，所以 V1+V：V1-V = 2:1 = 4：2  V1=2 所以V1+V 是 2/3 * 4 * 60 = 160
跑道的长度是  2/3 * 4 * 60 * 6 = 960

错误原因：小钟和小崔的速度更快。所以是V1+V:V1-V=2:1=4:2  推出V1+V=8 所以路程 8 * 60 * 6 = 2880

2、甲、乙两人在一条400米的环形跑道上从相距200米的位置出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了2000米。问甲的速度是乙的多少倍？

A. 1.2
B. 1.5
C. 1.6
D. 2.0

解析：

解析：同向相遇。
当时间一定，速度之比等于路程之比。第一次追上乙，甲乙路程差为200m，第二次，第三次路程差都是400，所以 当乙跑2000米的时候，甲跑了3000m。所以结果是1.5倍

3、甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一环形跑道进行健身锻炼，甲跑步，乙走路。若甲追上乙所需时间是两人相向而行相遇所需时间的3倍，则甲、乙的速度之比是：

A. 3: 1
B. 5:2
C. 2: 1
D. 3:2
解析：

解析：
同向追及 使用比例思想
平均速度之比是1:3
则：V1+V2:V1-V2=3:1 所以甲乙的速度是4:2选择C。

多次相遇

直线情况，多次相遇。两种考法：

• 两端出发，多次相遇
• 同端出发，多次相遇

1、直线两端出发多次往返迎面相遇
从两端出发

• 第一次迎面相遇，共走1S
• 第二次迎面相遇，共走3S
• 第三次迎面相遇，共走5S
• 第N次迎面相遇，共走 （2n-1）S = \(V_{\text{和}} \times T_{\text{遇}}\) = \((V_{\text{1}} + V_{\text{2}})\times t\)

2、同端出发多次相遇

• 第一次相遇，共走2S
• 第二次相遇，共走4S
• 第N次相遇，共走 2n * S = \((V_{\text{1}} + V_{\text{2}})\times t\)

1、小王在甲医院，小赵在乙医院。两人从所在医院同时骑车出发，来回往返于两个医院之间。已知小王骑车速度为205米/分钟，小赵骑车速度为225米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问两家医院相距多少米？

A.1290
B.1720
C.2150
D.2580

解析：

两个端点，相向而行。
相遇时，两者的路程之和为 3 * S ，时间为12分钟，平均速度为430米/分钟。所以S = 430 * 12 / 3 = 1720 选择B

2、小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为3公里。小王每小时走2公里；小李每小时跑4公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第7次相 遇时，距离出发点（）公里。
A. 0
B. 1
C. 1.5
D. 2

解析：

7次相遇，总路程为 2 * 7 * 3， t = 2 *  7 * 3 / 6 = 7
小王走来14公里。 14/3 = 4余2，所以距离出发点是2公里

3、小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为6公里。小王每小时走4公里；小李每小时跑8公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则两人第7次相遇时的地点距离出发点：

A. 0公里
B.2公里
C.3公里
D.4公里

解析：

没有说明默认是直道。

7次相遇，同向同起点，所以第N次相遇的路程为2n * S = 14 * 6 时间t=14 * 6 / 12 = 7

小王路程 4 *  7 = 28  28%6 = 4 余4
小李路程：8 * 7 = 56  56%6 = 9 余2 

坑来来。这里应该是余4公里还是2公里。余数是偶数距离原点，所以是4公里

流水行船问题

\(V_{\text{顺}} = V_{\text{船}} + V_{\text{水}}\)
\(V_{\text{逆}} = V_{\text{船}} - V_{\text{水}}\)

\(V_{\text{船}}\) = \((V_{\text{顺}} + V_{\text{逆}})\) / 2
\(V_{\text{水}}\) = \((V_{\text{顺}} - V_{\text{逆}})\) / 2

1、再静水中的速度为\(V_{船}\)
2、漂流的速度为\(V_{水}\)

1、一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6天；逆流而行，从乙地到甲地需要8天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A.24
B.36
C.48
D.56

解析：使用比例思想
V1:V2=4:3
V船：V水 = 3.5 ：0.5 
漂流瓶所需时间：6 * 4 / 0.5 = 48天

比例行程(资料分析比例类思想)

本质上就是比例思想。资料分析中也有类似案例，没遇到过。
根据公式：S=V * T

• 当S一定的时候，V和T成反比
• 当V一定的时候，S和T成正比
• 当T一定的时候，S和V成正比

常考：路程相向。
ex： S相等，甲行驶需要时间t1，乙形式需要时间t2，速度之比为t2:t1

1、A、B两地相距100米，甲、乙两人分别从AB两地同时出发，匀速相向而行，相遇后，甲原路返回A地，乙继续向A前行，当甲、乙均到A地结束。
已知乙的用时是甲的三倍，那么甲的速度是乙的：
A.2倍
B.3倍
C.4倍
D.5倍

解析：

解析1:
设甲用的时间是2t，那么乙用的时间是6t，当甲行驶第一个t的时候，相遇，甲开始返回。此时甲乙开始沿着同一个位置开始行走，距离相同，乙一共行驶了5t，甲行驶了t，所以速度比是5:1。（我的答案不一定对）

2、从A地到B地是下坡路，一辆车从A地开往B地需要三小时，从B地开往A地需要四小时。已知这辆车下坡速度比上坡速度快15千米/小时，则A、B两地之间的距离是多少千米？

A.120
B.180
C.240
D.300

解析

解法1: 直接使用比例思想
V1:V2=4:3 一份是15 所以下山的速度是60，上山的速度是45。所以总路程是180 

3、某人以每小时10公里的速度从甲地骑车前往乙地，中午12:30到达。若以每小时15公里的速度行驶，上午11:00到达，则他出发的时间是：

A. 上午7:15
B. 上午7:30
C. 上午7:45
D. 上午8:00
解析：

方法1:
使用比例思想。
t1:t2=v1:v2 = 2:3 
差距一份对应1个半小时，所以t1是3个小时，t2是4个半小时。所以初始时间是11小时之前的3个小时。选择D

4、甲、乙两公司相距2000米，某日上午8：30小明从甲公司出发到乙公司，小华同时从乙公司出发到甲公司，两人到达对方公司后分别用8分钟时间办事，然后原路返回。假设小明的速度为4km/h，小华的速度为5km/h，则两人第二次相遇的时间是几点？
A. 9:18
B. 9:22
C. 9:24
D. 9:28

解析：

方法1:  中间有停止，但是相同的时间对双方代价不一样。想当于乙少走了。
小明行驶2000米需要0.5小时,小华行驶2000米需要0.4小时，即24分钟。所以38分钟之后，当小明开始往回走，小华已经行驶了6分钟。
距离是0.1 * 5 = 500m，因为1.5/9 * 60 = 10分钟。所以总共需要48分钟。9点18。

方法2:
总的时间 = 行走的时间 + 做事情的时间

行走的时间 = 行走的路程/速度 = 3 * 2000 / （（4+5）* 1000) = 2/3 大概是40分钟。

做事的时间对两者都是一致的都是8分钟。所以总共48分钟。


延伸：
两个人相向而行，速度不一致V1，V2。行驶了t1时间，一个人休息了t时间。过了一会另外一个人也休息了t时间。总共行驶了t2时间。那么两个人之间的差距是多少？
一种解法：
如果不休息，行走的时间之差是 （v2-v1）（t2-t）

另外一种解法：t1 * v2 + （t2-t-t1）v2 - t1 * v1 - （t2-t-t1）v1 = t1（v2-v1） + （t2-t-t1）（v2-v1） =  （t2-t） * （v2-v1）

相向而行，两者的行驶距离的差值也是一样的。因为都是匀速。如果有加速度，情况就会发生变化。

5、甲乙两车早上分别同时从A、B两地出发，驶向对方所在城市，在分别到达对方城市并各自花费一小时卸货后，立刻出发以原速返回出发地。甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为40千米/小时。两地之间相距480千米。两车第二次相遇距离两车早上出发经过了多少个小时？

A.13.4
B.14.4
C.15.4
D.16.4
解析：

方法1: 同向相行的思路好像不对，因为中间有停止。
乙到达之后，12小时，停留一个小时是13个小时。甲此时已经从对面走来4个小时，供给240km，240/100 = 2.4 再有2.4个小时两者相遇。
所以第二次相遇用时 15.4小时

方法2: 相向而行，第二次相遇两者行驶路程和是3 * S，是 1440，所以如果没有停留的一个小时，应该是14.4小时两者第二次相遇。因为停留来一个小时，导致时间变长了。同样的时间，两者行驶的距离不一样。代价不一样。很明显对速度快的来说，想当于其少行驶了一段距离。（解释的不清楚)

方法3: 同上
总时间 = 行走的时间+休息的时间

6、一辆车每天都比前一天多开15千米，第三天开的距离正好是第一天的2倍。则前三天一共开了多少千米？

A.225
B.190
C.135
D.130

解析：

方法1: 要假设是最好的情况。
第一天距离是S，第三天距离是S+30 因为 2 * S = S + 30 推出S=30
30+45+60 = 135

3*30 + 15*2 稍微简便的方法

7、甲、乙、丙在400米标准跑道上跑步，甲跑一圈用2分钟，乙用1.5分钟，丙用2.5分钟。若甲、乙、丙按顺序轮流每人半圈接力跑，共跑1600米，问乙一共跑了多少分钟？
A.2
B.2.25
C.3
D.3.25

解析：

追级问题+周期问题
V1:V2:V3 = 15:20:12 

一次循环：3个半圈，600m，总共需要3分钟。行驶距离600m。1600m是2次循环+400m，只有甲乙跑了。总时间为：3 * 2 + 2+1.5
乙一共跑了3个半圈。1.5 * 3 / 2 = 2.25

总结

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