[TAOCP 1.2.2]Eq.(18)的证明

设$y=\log_{10}x$，将y记为整数部分10进制，小数部分二进制的形式，有：

$10^{n+\frac{b_1}{2^1}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_3}{2^3}+\cdots}=x$

将x不断地除以10，直到结果小于10，除以10的次数即n。

 

然后求$b_1$，等式两边除以$10^n$：

$10^{\frac{b_1}{2^1}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_3}{2^3}+\cdots}=\frac{x}{10^n}=x_0$

$b_1$的取值范围是0，1。上式平方，有：

$10^{b_1+\frac{b_2}{2^1}+\frac{b_3}{2^2}+\cdots}=x_0^2$

如果$x_0^2$小于10，说明$b_1$是0，否则$b_1$是1。

 

接下来，等式两边除以$10^{b_1}$：

$10^{\frac{b_2}{2^1}+\frac{b_3}{2^2}+\cdots}=\frac{x_0^2}{10^{b_1}}=x_1$

可依次求出$b_2$, $b_3$, ...