人工智能之数据分析 numpy
第九章 数组运算（二）
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前言
NumPy 提供了丰富的数学与统计函数，覆盖三角、指数对数、舍入、向量运算、概率统计等多个领域。这些函数都是通用函数（ufunc），支持向量化操作，可直接作用于整个数组，无需循环。
本文紧接上一章系统梳理 NumPy 中常用的数学与统计函数。
一、三角函数（Trigonometric Functions）
所有三角函数默认使用弧度作为输入。
| 函数 | 说明 |
|---|---|
np.sin(x),np.cos(x),np.tan(x) |
正弦、余弦、正切 |
np.arcsin(x),np.arccos(x),np.arctan(x) |
反三角函数 |
np.hypot(x, y) |
计算 $\sqrt{x^2 + y^2}$（直角三角形斜边） |
np.deg2rad(x)/np.radians(x) |
角度 → 弧度 |
np.rad2deg(x)/np.degrees(x) |
弧度 → 角度 |
示例：
import numpy as np
angles_deg = np.array([0, 30, 45, 60, 90])
angles_rad = np.deg2rad(angles_deg)
print("sin:", np.sin(angles_rad))
# [0. 0.5 0.70710678 0.8660254 1. ]
# 反函数（注意定义域）
x = np.array([0, 0.5, 1])
print("arcsin (rad):", np.arcsin(x))
print("arcsin (deg):", np.rad2deg(np.arcsin(x)))
# [0. 30. 90.]
⚠️ 注意：
arcsin和arccos的输入必须在 $[-1, 1]$ 范围内，否则返回nan。
二、双曲函数（Hyperbolic Functions）
| 函数 | 说明 |
|---|---|
np.sinh(x),np.cosh(x),np.tanh(x) |
双曲正弦/余弦/正切 |
np.arcsinh(x),np.arccosh(x),np.arctanh(x) |
反双曲函数 |
三、指数与对数函数
| 函数 | 说明 |
|---|---|
np.exp(x) |
$e^x$ |
np.exp2(x) |
$2^x$ |
np.power(x, y) |
$x^y$（支持广播） |
np.log(x) |
自然对数 $\ln x$ |
np.log2(x),np.log10(x) |
以 2 或 10 为底的对数 |
np.log1p(x) |
$\ln(1 + x)$（对小 x 更精确） |
示例：
x = np.array([1, 2, np.e])
print("exp:", np.exp(x)) # [2.718..., 7.389..., 15.154...]
print("log(exp(x)):", np.log(np.exp(x))) # ≈ x
# log1p 避免小数精度损失
small = 1e-10
print(np.log(1 + small)) # 可能为 0.0（精度丢失）
print(np.log1p(small)) # 精确值 ≈ 1e-10
四、舍入函数（Rounding）
| 函数 | 说明 |
|---|---|
np.around(a, decimals=0)/np.round(a) |
四舍五入 |
np.floor(a) |
向下取整（≤ x 的最大整数） |
np.ceil(a) |
向上取整（≥ x 的最小整数） |
np.trunc(a)/np.fix(a) |
截断小数部分（向零取整） |
np.rint(a) |
四舍五入到最近整数（返回 float） |
示例：
x = np.array([-2.7, -2.3, 2.3, 2.7])
print("round :", np.round(x)) # [-3. -2. 2. 3.]
print("floor :", np.floor(x)) # [-3. -3. 2. 2.]
print("ceil :", np.ceil(x)) # [-2. -2. 3. 3.]
print("trunc :", np.trunc(x)) # [-2. -2. 2. 2.]
💡
np.round()遵循“银行家舍入”规则：0.5舍入到最近的偶数（如np.round(2.5) → 2.0）。
五、向量与矩阵函数（线性代数相关）
虽然大部分在线性代数模块 np.linalg，但以下常用函数在主命名空间：
| 函数 | 说明 |
|---|---|
np.dot(a, b) |
点积 / 矩阵乘法 |
np.vdot(a, b) |
共轭点积（主要用于复数） |
np.inner(a, b) |
内积（对高维是逐最后轴求和） |
np.outer(a, b) |
外积（返回矩阵） |
np.cross(a, b) |
向量叉积（仅适用于 3D 或 2D） |
np.linalg.norm(x, ord=2) |
向量/矩阵范数（L2 默认） |
示例：
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
print("dot :", np.dot(a, b)) # 32
print("inner :", np.inner(a, b)) # 32
print("outer :\n", np.outer(a, b))
# [[ 4 5 6]
# [ 8 10 12]
# [12 15 18]]
print("norm :", np.linalg.norm(a)) # √14 ≈ 3.7417
六、统计相关函数
1. 基础统计量（支持 axis 参数）
| 函数 | 说明 |
|---|---|
np.sum(a) |
求和 |
np.mean(a) |
均值 |
np.median(a) |
中位数 |
np.std(a) |
标准差（默认除以 N，非 N-1） |
np.var(a) |
方差 |
np.min(a),np.max(a) |
最小/最大值 |
np.argmin(a),np.argmax(a) |
最值索引 |
np.percentile(a, q) |
分位数（q 为 0~100） |
np.quantile(a, q) |
分位数（q 为 0~1） |
🔍 注意：
np.std()默认使用 总体标准差（ddof=0），若需样本标准差，用np.std(a, ddof=1)。
2. 高级统计
| 函数 | 说明 |
|---|---|
np.cov(x, y) |
协方差矩阵 |
np.corrcoef(x, y) |
相关系数矩阵 |
np.histogram(a, bins=10) |
直方图（返回 counts 和 bin_edges） |
np.bincount(x) |
整数数组的频次统计（类似 one-hot 计数） |
np.unique(a, return_counts=True) |
唯一值及出现次数 |
示例：
data = np.array([1, 2, 2, 3, 4, 4, 4])
# 频次统计
values, counts = np.unique(data, return_counts=True)
print("Unique:", values) # [1 2 3 4]
print("Counts:", counts) # [1 2 1 3]
# 相关系数
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([2, 4, 6, 8])
print("Corr coef:", np.corrcoef(x, y)[0, 1]) # 1.0（完全正相关）
七、特殊函数（SciPy 更全，但 NumPy 有基础）
| 函数 | 说明 |
|---|---|
np.sign(x) |
符号函数（-1, 0, 1） |
np.abs(x)/np.fabs(x) |
绝对值 |
np.sqrt(x) |
平方根 |
np.square(x) |
平方 |
np.clip(a, a_min, a_max) |
限幅（clamp） |
np.where(condition, x, y) |
条件选择 |
np.interp(x, xp, fp) |
一维线性插值 |
示例：限幅与插值
arr = np.array([-2, -1, 0, 1, 2])
clipped = np.clip(arr, -1, 1) # [-1 -1 0 1 1]
# 插值：已知 xp=[0,1,2], fp=[0,1,4]，求 x=0.5 处的值
x_new = 0.5
y_new = np.interp(x_new, [0,1,2], [0,1,4]) # 0.5
八、随机数生成（np.random 模块）
虽然属于随机模块，但常用于统计模拟：
# 设置种子（推荐用新式 Generator）
rng = np.random.default_rng(seed=42)
rng.random(5) # 均匀分布 [0,1)
rng.normal(0, 1, 1000) # 正态分布
rng.randint(0, 10, 5) # 整数随机
rng.choice([1,2,3], size=5) # 抽样
✅ 推荐使用
Generator（default_rng）而非旧式np.random.seed()。
九、性能提示
- 所有上述函数都是 ufunc，自动并行化（底层 C 实现）
- 避免在循环中调用，直接作用于整个数组
- 对于超大数组，考虑内存映射或分块处理
十、总结：常用函数速查表
| 类别 | 常用函数 |
|---|---|
| 三角 | sin,cos,tan,arcsin,deg2rad |
| 指数对数 | exp,log,log10,log1p |
| 舍入 | round,floor,ceil,trunc |
| 向量 | dot,norm,cross,outer |
| 统计 | mean,std,median,percentile,unique,corrcoef |
| 实用 | abs,sign,clip,where,interp |
掌握这些函数，你就能高效完成科学计算、数据分析、信号处理、机器学习中的绝大多数数值任务。对于更复杂的统计模型（如假设检验、回归），建议结合 SciPy.stats 或 statsmodels。
后续
本文紧接上一章主要讲述了numpy数组相关的数学与统计运算。python过渡项目部分代码已经上传至gitee，后续会逐步更新，主要受时间原因限制，当然自己也可以克隆到本地学习拓展。
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