ZJOI2005 午餐

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Description

一共 \(n\) 个人去打饭，每个人一个打饭时间 \(A_i\)、吃饭时间 \(B_i\)。要求把 \(n\) 个人分成两组，每组占领一个窗口不间断打饭，最小化所有人吃完饭时刻。

Solution

首先这是一个排列数问题，与 AcWing 734. 能量石 类似，不妨用贪心尝试将排列数问题转化为组合数问题。

贪心

我们先之考虑一队同学，尝试用微扰的方式证明一下。

假设两个人 \(i, j\) 在一队按顺序打饭，设前面人打完饭的时刻是 \(t\)，他们对答案的贡献是：

\[\max(t + a[i] + b[i], t + a[i] + a[j] + b[j]) \]

将 \(i, j\) 颠倒顺序，他们的贡献是：

\[\max(t + a[j] + b[j], t + a[j] + a[i] + b[i]) \]

两项交换不会使答案贡献更优：

\[\max(t + a[i] + b[i], t + a[i] + a[j] + b[j]) \le \max(t + a[j] + b[j], t + a[j] + a[i] + b[i]) \]

整理一下得：

\[\max(a[i] + b[i], a[i] + a[j] + b[j]) \le \max(a[j] + b[j], a[j] + a[i] + b[i]) \]

由于所有数是正整数，所以 \(a[i] + a[j] + b[j] > a[j] + b[j]\)，\(a[j] + a[i] + b[i] > a[i] + b[i]\)。

所以 \(\max\) 函数的第一项不可能作为四个值的最大值，把它消去：

\[a[i] + a[j] + b[j] \le a[j] + a[i] + b[i] \]

移项：

\[b[i] \ge b[j] \]

所以，我们把所有人按 \(b\) 从大到小排序，枚举的最优解一定是两个序列，每队从新下标的顺序从小到大排队。

DP

现在排列问题变成了组合问题，我们就可以 DP 了。

我们需要知道信息有：

• 是两个队列最后一个人打完饭的时刻。

• 最早时刻（答案）

设计状态

首先想到：

• 设 \(f_{i, j, k}\) 为前 \(i\) 个人，两队最后一个人打完的时刻分别为 \(j, k\)，吃完饭的最早时刻。

但是空间过大，考虑降维，显然 \(j + k = \sum_{u = 1}^{i} a[i]\)，所以再维护一个 \(a\) 的前缀和，那么已知 \(i, j\) 可以 \(O(1)\) 推出 \(k\)

设 \(f_{i, j, k}\) 为前 \(i\) 个人，其中一队最后一个人打完的时刻分别为 \(j\)，吃完饭的最早时刻。

初始状态

\(f_{0, 0} = 0\)，其余为正无穷。

状态转移

还是喜欢我为人人，符合人类的正常思维。

当前状态是 \(f_{i, j}\)，将另一队的时刻 \(k\) 求出来，考虑第 \(i + 1\) 个人分配到哪个队伍。

• 分配到 \(j\) 这个队伍，\(f_{i + 1, j + a[i + 1]} = \min\{ \max(f_{i, j}, j + a[i + 1] + b[i + 1]) \}\)

• 分配到另一个队伍，\(f_{i + 1, j} = \min\{ \max(f_{i, j}, k + a[i + 1] + b[i + 1]) \}\)

答案

\(\text{Ans} = \min(f[n][i])\)

时间复杂度

\(O(N^3)\)

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 205, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, a[N], b[N], s[N], f[N][N * N];

struct E{
	int a, b;
	bool operator < (const E &x) const {
		return b > x.b;
	}
} e[N];

void inline update(int &x, int y) {
	if (x > y) x = y;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &e[i].a, &e[i].b);
	sort(e + 1, e + 1 + n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + e[i].a;

	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	f[0][0] = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j <= s[i]; j++) {
			if (f[i][j] == INF) continue;
			int k = s[i] - j;
			update(f[i + 1][j + e[i + 1].a], max(f[i][j], j + e[i + 1].a + e[i + 1].b));
			update(f[i + 1][j], max(f[i][j], k + e[i + 1].a + e[i + 1].b));
		}
	}
	int ans = INF;
	for (int i = 0; i <= s[n]; i++) ans = min(ans, f[n][i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}