[BZOJ]4200: [Noi2015]小园丁与老司机

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Description

　　小园丁 Mr. S 负责看管一片田野，田野可以看作一个二维平面。田野上有 nn 棵许愿树，编号 1,2,3,…,n1,2,3,…,n，每棵树可以看作平面上的一个点，其中第 ii 棵树 （1≤i≤n1≤i≤n） 位于坐标 (xi,yi)(xi,yi)。任意两棵树的坐标均不相同。

　　老司机 Mr. P 从原点 (0,0)(0,0) 驾车出发，进行若干轮行动。每一轮，Mr. P 首先选择任意一个满足以下条件的方向：

　　为左、右、上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 五个方向之一。

　　沿此方向前进可以到达一棵他尚未许愿过的树。

　　完成选择后，Mr. P 沿该方向直线前进，必须到达该方向上距离最近的尚未许愿的树，在树下许愿并继续下一轮行动。如果没有满足条件的方向可供选择，则停止行动。他会采取最优策略，在尽可能多的树下许愿。若最优策略不唯一，可以选择任意一种。

　　不幸的是，小园丁 Mr. S 发现由于田野土质松软，老司机 Mr. P 的小汽车在每轮行进过程中，都会在田野上留下一条车辙印，一条车辙印可看作以两棵树（或原点和一棵树）为端点的一条线段。

　　在 Mr. P 之后，还有很多许愿者计划驾车来田野许愿，这些许愿者都会像 Mr. P 一样任选一种最优策略行动。Mr. S 认为非左右方向（即上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 三个方向）的车辙印很不美观，为了维护田野的形象，他打算租用一些轧路机，在这群许愿者到来之前夯实所有“可能留下非左右方向车辙印”的地面。

　　“可能留下非左右方向车辙印”的地面应当是田野上的若干条线段，其中每条线段都包含在某一种最优策略的行进路线中。每台轧路机都采取满足以下三个条件的工作模式：

　　从原点或任意一棵树出发。

　　只能向上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 三个方向之一移动，并且只能在树下改变方向或停止。

　　只能经过“可能留下非左右方向车辙印”的地面，但是同一块地面可以被多台轧路机经过。

　　现在 Mr. P 和 Mr. S 分别向你提出了一个问题:

　　请给 Mr .P 指出任意一条最优路线。

　　请告诉 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。

Input

　　输入文件的第 1 行包含 1 个正整数 n，表示许愿树的数量。

　　接下来 n 行，第 i+1 行包含 2个整数 xi,yi，中间用单个空格隔开，表示第 i 棵许愿树的坐标。

Output

　　输出文件包括 3 行。

　　输出文件的第 1 行输出 1 个整数 m，表示 Mr. P 最多能在多少棵树下许愿。

　　输出文件的第 2 行输出 m 个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，表示 Mr. P 应该依次在哪些树下许愿。

　　输出文件的第 3 行输出 1 个整数，表示 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。

Sample Input

　　6
　　-1 1
　　1 1
　　-2 2
　　0 8
　　0 9
　　0 10

Sample Output

　　3
　　2 1 3
　　3

Hint

　　explanation
　　最优路线 2 条可许愿 3 次：(0,0)→(1,1)→(−1,1)→(−2,2)(0,0)→(1,1)→(−1,1)→(−2,2) 或 (0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)(0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)。 至少 3 台轧路机，路线是 (0,0)→(1,1)(0,0)→(1,1)，(−1,1)→(−2,2)(−1,1)→(−2,2) 和 (0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)(0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)。

Solution

　　把坐标分别按x，y，x+y，x-y排序即可求出一个点向各个方向能到的点，然后DP求出从原点到一个点最多经过的点数，状态有两种情况，一种是从y坐标小的转移过来，一种是从y坐标相同的转移过来，两种最好分开考虑，细节可能有点多。DP完求出转移路径即可解决第一问，第二问要我们求出最少用几条链才能覆盖所有可能在最优路径上的y坐标增大的边，求出这些边后我们可以用带下界的最小流解决（理解最小流后建图比较容易）。

Solution

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x,f=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')f=0;
    for(x=c-'0';(c=getchar())>='0'&&c<='9';)x=x*10+c-'0';
    return f?x:-x;
}
#define MN 50000
#define MV 50002
#define ME 250000
#define S MV+1
#define T MV+2
#define INF 0x3FFFFFFF
struct node{int x,y,id;}p[MN+5];
bool cmp1(const node&a,const node&b){return a.x+a.y==b.x+b.y?a.y<b.y:a.x+a.y<b.x+b.y;}
bool cmp2(const node&a,const node&b){return a.x-a.y==b.x-b.y?a.y<b.y:a.x-a.y<b.x-b.y;}
bool cmp3(const node&a,const node&b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;}
bool cmp4(const node&a,const node&b){return a.y==b.y?a.x<b.x:a.y<b.y;}
int s[MN+5],t1[MN+5],t2[MN+5],t3[MN+5],l[MN+5],r[MN+5],f[MN+5],ff[MN+5],lf[MN+5],rf[MN+5],a[MN+5],an;
vector<int> v,t[MN+5];
namespace maxFlow
{
    struct edge{int nx,t,w;}e[ME*2+5];
    int h[MV+5],en=1,d[MV+5],c[MV+5],q[MV+5],qn;
    inline void ins(int x,int y,int w)
    {
        e[++en]=(edge){h[x],y,w};h[x]=en;
        e[++en]=(edge){h[y],x,0};h[y]=en;
    }
    bool bfs()
    {
        int i,j;
        memset(d,0,sizeof(d));
        for(d[q[i=qn=0]=S]=1;i<=qn;++i)for(j=c[q[i]]=h[q[i]];j;j=e[j].nx)
            if(e[j].w&&!d[e[j].t])d[q[++qn]=e[j].t]=d[q[i]]+1;
        return d[T];
    }
    int dfs(int x,int r)
    {
        if(x==T)return r;
        int k,u=0;
        for(int&i=c[x];i;i=e[i].nx)if(e[i].w&&d[e[i].t]==d[x]+1)
        {
            k=dfs(e[i].t,min(e[i].w,r-u));
            u+=k;e[i].w-=k;e[i^1].w+=k;
            if(u==r)return u;
        }
        return d[x]=0,u;
    }
    int dinic(){int res=0;while(bfs())res+=dfs(S,INF);return res;}
}
void upd(int x,int y)
{
    if(ff[y]+1>f[x])f[x]=ff[y]+1,t[x].clear();
    if(ff[y]+1==f[x])t[x].push_back(y);
}
void get_ans(int x)
{
    a[++an]=x;
    int i,j,u=1;
    if(f[x]==ff[x]){u=0;if(p[x].id)get_ans(t[x][0]);}
    for(i=l[x];u&&i<x;++i)if(f[i]+x-l[x]==ff[x])
    {
        u=0;
        for(j=x;--j>i;)a[++an]=j;
        for(j=l[x];j<=i;++j)a[++an]=j;
        if(p[i].id)get_ans(t[i][0]);
    }
    for(i=r[x];u&&i>x;--i)if(f[i]+r[x]-x==ff[x])
    {
        u=0;
        for(j=x;++j<i;)a[++an]=j;
        for(j=r[x];j>=i;--j)a[++an]=j;
        if(p[i].id)get_ans(t[i][0]);
    }
}
int d[MN+5],u[MN+5],c[MN+5];
inline void ins(int x,int y){maxFlow::ins(x,y,INF);++c[x];--c[y];}
void dfs(int x)
{
    if(d[x])return;
    int i,j;d[x]=1;
    if(f[x]==ff[x]&&!u[x])for(u[x]=1,i=0;i<t[x].size();++i)ins(t[x][i],x),dfs(t[x][i]);
    for(i=l[x];i<x;++i)if(f[i]+x-l[x]==ff[x]&&!u[i])for(u[i]=1,j=0;j<t[i].size();++j)ins(t[i][j],i),dfs(t[i][j]);
    for(i=r[x];i>x;--i)if(f[i]+r[x]-x==ff[x]&&!u[i])for(u[i]=1,j=0;j<t[i].size();++j)ins(t[i][j],i),dfs(t[i][j]);
}
int main()
{
    int n=read(),i,j,ans=0;
    for(i=1;i<=n;++i)p[i].x=read(),p[i].y=read(),p[i].id=i;
    sort(p,p+n+1,cmp1);
    for(i=0;i<n;++i)if(p[i].x+p[i].y==p[i+1].x+p[i+1].y)t1[p[i].id]=p[i+1].id;
    sort(p,p+n+1,cmp2);
    for(i=0;i<n;++i)if(p[i].x-p[i].y==p[i+1].x-p[i+1].y)t2[p[i].id]=p[i+1].id;
    sort(p,p+n+1,cmp3);
    for(i=0;i<n;++i)if(p[i].x==p[i+1].x)t3[p[i].id]=p[i+1].id;
    sort(p,p+n+1,cmp4);
    for(i=0;i<=n;++i)s[p[i].id]=i;
    memset(f,200,sizeof(f));f[s[0]]=0;
    for(i=0;i<=n;i=r[i]+1)
    {
        for(l[i]=r[i]=i;r[i]<n&&p[r[i]+1].y==p[r[i]].y;++r[i]);
        for(j=l[i];++j<=r[i];)l[j]=l[i],r[j]=r[i];
        for(lf[l[i]]=-INF,j=l[i];++j<=r[i];)lf[j]=max(lf[j-1],f[j-1]);
        for(rf[r[i]]=-INF,j=r[i];--j>=l[i];)rf[j]=max(rf[j+1],f[j+1]);
        for(j=l[i];j<=r[i];++j)
        {
            ff[j]=max(f[j],max(lf[j]+j-l[i],rf[j]+r[i]-j));
            if(t1[p[j].id])upd(s[t1[p[j].id]],j);
            if(t2[p[j].id])upd(s[t2[p[j].id]],j);
            if(t3[p[j].id])upd(s[t3[p[j].id]],j);
            if(ff[j]>ans)ans=ff[j],v.clear();
            if(ff[j]==ans)v.push_back(j);
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    get_ans(v[0]);
    for(i=an;--i;)printf("%d ",p[a[i]].id);puts("");
    for(i=0;i<v.size();++i)dfs(v[i]);
    for(i=0;i<=n;++i)
    {
        if(c[i]<0)maxFlow::ins(S,i,-c[i]);else maxFlow::ins(i,T,c[i]);
        maxFlow::ins(MN+1,i,INF);maxFlow::ins(i,MN+2,INF);
    }
    maxFlow::dinic();
    maxFlow::ins(MN+2,MN+1,INF);
    printf("%d",maxFlow::dinic());
}