转载--柯尔莫哥洛夫
2014-09-19 10:20 Dirichlet 阅读(3241) 评论(0) 编辑 收藏 举报柯尔莫哥洛夫
柯尔莫哥洛夫的父亲卡塔也夫(Николай Матвеевич Катаев)是农艺师兼作家，母亲柯尔莫哥洛娃(Мария Яковлевна Колмогорова)出身贵族．他们并没有办结婚手续，所以柯尔莫哥洛夫从母姓．十月革命后，卡塔也夫主持农业人民委员部教育部门，在1919年A．И．邓尼金(Деникин)进攻时死于南方战线．柯尔莫哥洛夫生后十天母亲就去世，他由姨妈薇拉(Вира)与娜捷日达(Надежда)抚育，生活在沿伏尔加河的雅洛斯拉伏尔(Ярославлъ)下游约20公里的图诺斯那村(Туношна)．她们都有民主思想，卒于50年代初．在柯尔莫哥洛夫幼年，两个姨妈努力引导他对书本和自然的兴趣，开拓他的好奇心，带他去田野、森林，给他讲花草树木的知识、星星与宇宙演化的故事、安徒生的童话……．她们办了一个有十个不同年龄的孩子组成的家庭学校，以适应当时新的教育模式．五六岁的他负责家庭杂志《春燕》(Beсенние Ласточки)的数学部分．在1963年发表的文章《我是如何成为数学家的》(Кат Я стал математиком)中写道：“在五六岁时我就领受到数学‘发现’的乐趣，我观察到
1=12，
1+3=22，
1+3+5=32
1+3+5+7=42
等等．我的发现被刊在《春燕》上，在那里还发表了我发明的算术问题(其中例如：要固定一个有四孔的扣子至少要用线缝合两个孔，问有多少种不同的固定办法？)．”孩子们还参加农庄劳动、收集柴火、自己缝扣子等等．1910年他进入莫斯科列普曼(Лепман)文法学校预班．该校崇尚自由，着重因材施教，学生可以自由选听高年级的课程，还采用了很多试验教学．在女性环境中成长的他特别珍视男孩特点的培养，诸如淘气、嬉闹、大胆、果敢、灵巧等．在该校他结识了A．Д．叶戈洛娃(Анна Демитриевна Егорова)．
她是通讯院士、历史学家П．H．叶戈洛夫(Егоров)之女，后于1942年在莫斯科与柯尔莫哥洛夫成婚，她卒于1988年．少年时他对生物、物理、历史、社会学、数学、俄国艺术、林业学都有浓厚的兴趣，在14岁就自习高等数学，还梦想在荒漠中创建法律至上的公社，并为此起草了宪法．
1920年他毕业于第23高中(即前列普曼文法学校)．他曾向往学冶金，因为在那时候人们认为工程比纯科学更为重要和必需．他同时在国立莫斯科大学物理数学系和门捷列夫(Менделеев)化工学院冶金系注册．但是不久以后他就下决心以数学为职业．他在莫斯科大学学习的同时又在门捷列夫化工学院数学部学习了一段时间，还参加了莫斯科大学历史系教授C．V．巴赫罗欣(Вахрушин)的讨论班．17岁的他对历史发生了兴趣，他曾对俄国诺夫格勒(Новгород)地区在15—16世纪房地产登记的资料，用数理统计进行科学分析并写出论文，得到了巴赫罗欣的赞赏．但是当他问能否发表时，得到的回答是：只有一个论据是不够的，必须有五个不同的论据．以后他专心致力于数学，因为数学问题只需一个证明就足够了．
在进入大学之前，他已有相当多的数学知识，他从《数学的新概念》(Новые идей в мате матике)一书中知道了集合论基础，他从《勃洛克豪斯与杰弗朗百科全书》(Brockhaus and Jefronencyclopedia)中学了很多专题，并用自己的语言改写了这些过于浓缩的内容．进入莫斯科大学后，他立刻通过了集合论和射影几何的免修考试．当时鲁金学派正处于顶峰时期，1921年他在H．H．鲁金(Луэин)的解析函数论课上，对鲁金的一个猜测举出了反例，得到П．C．乌里松(Урысон)的赞扬，成为乌里松的学生．在听了П．C．亚历山德罗夫(Александров)的课后，他发表了“作用于集合上的算子的理论”(Теории операций над множествами)，推广了E．波莱尔(Borel)、R．贝尔(Baire)、H．勒贝格(Lebesgue)、亚历山德罗夫和M．苏斯林(Суслин)等人的研究．1921年秋，他参加了B．B．斯捷班诺夫(Стенпанов)的三角级数讨论班，这对他以后的事业有特殊的重要性．1922年他解决了鲁金提出的构造一个系数收敛到零的任意慢的傅里叶级数问题．此后他又定期向鲁金学习，从而又成为鲁金的学生．在三角级数讨论班上，他还与Д．E．门晓夫(Меншов)建立了友谊．1922年，他取得了突出的成果，构造了几乎处处发散的傅里叶级数，它立刻使这位大学三年级的学生扬名世界(到1926年他进而构造了一个处处发散的傅里叶级数)，并开始了他长达60多年的高强度与高创造性的时期．1925年他毕业于莫斯科大学后成为鲁金的研究生，并开始与鲁金的另一个学生A．Я．辛钦(Хинчин)一起从事概率论的研究．1929年研究生学习结束后，他成为莫斯科大学数学力学研究所助理研究员．1934年在苏联首次建立了博士学位制度，翌年他被授予数学物理学博士学位．1930年1月他与亚历山德罗夫一起对德国和法国进行了10个月的访问．格丁根在当时是数学的“麦加圣地”，研究人员少而精，只有D．希尔伯特(Hilbert)、E．兰道(Landau)、R．柯朗(Courant)与S．N．伯恩斯坦(Bernstein)4位教授，那里的助教有K．O．弗里德里希(Friedrichs)，F．雷列希(Rellich)．H．莱维(Lewy)和E．诺特(Noether)的学生B．L．范·德·瓦尔登(Van der Waerden)等．希尔伯特时已66岁，即将退休，H．外尔(Weyl)已内定取代他的位子．柯尔莫哥洛夫与这些人广泛交往，与柯朗探讨了极限定理的领域，与外尔讨论了直觉逻辑，与兰道交换了对函数论领域的看法．继而，他前往慕尼黑与C．卡拉特奥多雷(Carathéodory)交谈自己关于测度论与积分论的思想．后者对前者的测度论思想很喜欢，坚持要他尽快发表，但是对他的推广的积分论反应冷淡．在法国，他与M．弗雷歇(Fréchet)讨论了马尔科夫链，与P．勒维(Levy)进行了长时间的科学讨论，并与老一辈数学家勒贝格、波莱尔等建立了联系．
1931年柯尔莫哥洛夫任莫斯科大学教授，开始指导研究生．1933年任莫斯科大学数学力学研究所所长(至1939年1月，后来在1951—1953年又任此职)．他在数学力学系创建了如下教研室：概率论(1935年，任主任至1966年)，数理统计(1976年，任主任至1980年)，数理逻辑(1980年，任主任至逝世)，概率统计方法(1960年，任顾问至1966年，任主任从1966年到1976年)．他对数学教学结构的形成起了很大作用，他创建了许多新课程，如数学分析Ⅲ、概率论、数理逻辑等．他教过的课程有数学分析、常微分方程、复函数与概率论、数理逻辑、信息论等．在这些课程中有的附有非常有趣的实践练习，如用多项式逼近函数、范特波尔(Vander Pol)型方程的积分、微分方程的奇点、最小二乘法、用网络来研究偏微分方程的积分等．他于1953年任莫斯科大学数学会名誉会员，后任理事长(1964—1966，1973—1985)．1954—1958年任莫斯科大学数力系主任．1939年，他被选为苏联科学院数理部院士、主席团委员、数理部科学秘书(1939—1942)、科学院斯捷克洛夫(Стеклов)数学研究所所长(1939—1958，1980至逝世)．
在30年代末至40年代初，他研究湍流，随后在苏联科学院地球物理研究所创建了大气湍流实验室(1946—1949)，以后该室发展成该所的主体部门．
在卫国战争中，他与M．B．凯尔迪希(Келдыш)一起研究枪炮的火力与轰炸的理论．
1949年，柯尔莫哥洛夫任《大百科全书》数学部主任与编委．他长期任期刊《数学科学的进展》(Успехи Матемдтических наук， Russian Mathematical Surveys)的主编．他创办了期刊《概率论及其应用》(Теории Вероятностии и её пременении)及以中学生为对象的杂志《量子》(KBaHT)．他还主持撰写了数理系列丛书．
从1963年至逝世，他主要致力于文法学校的数学教学改革：编写教科书、编制教学大纲．1963—1968年，他任科学院科教委员会数学部主任．1968—1978年任教育部中学教科书委员会委员及数学部主任．他是莫斯科大学物理数学寄宿学校的创建人之一(1963)，而第18寄宿学校则以他命名．
他与辛钦关于随机过程的研究成果在1941年获国家奖，他与A．И．阿诺尔德(Арнолд)关于经典力学的研究在1965年获列宁奖．他两次获得科学院奖——1951年与Б．B．格涅坚科(Гнеденко)一起获车贝雪夫奖，1986年获罗巴切夫斯基奖．1963年，他荣获苏维埃劳动英雄称号．他还曾被授予十月革命勋章(1983)、劳动红旗勋章(1940)、七枚列宁勋章(1944—1975)及“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章、金星奖章(1963)等．
他获得的国际荣誉称号有：巴黎大学名誉博士(1955)，罗马科学院通讯院士(1956)，波兰科学院外国院士(1956)，国际统计学研究所名誉成员(1957)，波士顿美国艺术与科学院名誉院士(1959)，斯德哥尔摩大学名誉科学博士(1960)，加尔各答印度统计研究所名誉科学博士(1962)，荷兰皇家科学院外国院士(1963)，伦敦皇家科学院外国院士(1964)，罗马尼亚科学院名誉院士(1965)，匈牙利科学院名誉院士(1965)，美国国家科学院外国院土(1967)，法国科学院外国院士(1968)，匈牙利“荣誉事业”(Honoris causa)科学博土(1973)，历史科学国际科学院名誉院士(1977)，民主德国科学院外国院士(1977)，联邦德国“有成就”(Pour le Mérite)勋章学会外国会员(1977)，芬兰科学院外国院士(1983)，等等．
他得到的国际奖有：国际巴尔桑(Balzan)奖(1963)，美国气象学会奖章，民主德国科学院赫姆霍兹(Helmholtz)奖章(1976)，匈牙利旂帜奖章(1975)，1980年鉴于他“在调和分析、概率论、遍历论和动力系统深刻而开创性的发现”而获得沃尔夫(Wolf)奖．
20世纪初以来，由于采用了集合论观点研究函数，从而推广了测度与积分、函数构造等概念，这就大大扩大了数学家们的视野．波莱尔、勒贝格等人为此都做出了重大贡献．苏联的Д．T．叶戈洛夫(Егоров)、鲁金、苏斯林进一步把函数与集合的研究推向新的高潮．柯尔莫哥洛夫正是在20—30年代鲁金学派的顶峰时期成长的．鲁金学派造就了苏联举世闻名的一批数学大师，柯尔莫哥洛夫是其中最杰出的代表．在这个时期，数学领域还出现了大量极有挑战性的问题，新思想、新方法、新探索、新成就相继出现，其中包括：H．庞加莱(Poincare)关于太阳系发展的永恒性问题(庞加莱称它为动力学基本问题)的提出，引导到哈密顿(Hamilton)系统在微扰下的稳定性的研究；L．巴舍利艾(Bache－lier)、A．爱因斯坦(Einstein)、M．V．斯摩罗霍夫斯基(Smo－luchowski)、N．维纳(Wiener)及勒维等长期研究的布朗运动的数学特性，揭示了随机过程的基本规律；大气物理的研究提出了湍流的统计规律刻画；格丁根学派领导人希尔伯特在20世纪初提出了23个对数学发展具有决定性影响的问题；当时函数论的研究正在从有限维扩展为无穷维，这就需要把函数论、拓扑与代数等结合起来以产生新概念、新学科．以上种种背景是柯尔莫哥洛夫从学生时代开始在数学上面临的一些客观使命．
他一生共写学术论文(包括合作)488篇，给《大百科全书》写114条，给科普报刊撰写57篇文章．
他是本世纪苏联最有影响的数学家，也是本世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一．他所有的开创性工作是俄罗斯民族的骄傲，也是世界人民的宝贵财富．他研究的领域非常广泛，几乎遍及一切数学领域，包括：函数的距离理论、描述集合论、数理逻辑与数学基础、概率论及随机过程、数理统计及其应用、几何、泛函分析、拓扑、微分方程、湍流理论、(武器的)火力理论、演算学与自动机、动力系统与经典力学、函数的迭合理论、信息论、算法概率论、遍历论、诗韵中的统计学等．他在这些领域的研究成果不仅被应用于数学本身的发展和开辟新的领域，而且在物理、化学、生物、地球物理、冶金学、结晶学、人工神经网络等学科中都有极重要的应用．
他的开创性研究可分三个时期．
第一个时期开始于1921年秋．大学二年级的他开始研究三角级数与集合上的算子等一系列复杂问题．1926年他构造了处处发散的一个傅里叶级数，直到1966年瑞典数学家L．卡勒逊(Carle-son)及1967年美国数学家R．亨特(Hunt)又证明了对p＞1，Lp函数的傅里叶级数处处收敛到这个函数，这就彻底解决了三角级数的发散问题(鲁金问题)．他于1922年定义的在集合上的δS运算是描述集合论中的基本运算．他对三角级数和正交级数的兴趣贯彻终生，不时地返回到这个领域，并安排年轻人继续进行研究，在这方面他发表的10篇文章中的每一篇都是延续至今的研究的起点．在这时期他在微分、积分、可测集等方面都做了重要的工作．此后他又转向数理逻辑与数学基础．20世纪以来，数学家对逻辑律的适用性、数学本质及集合论悖论发生了无休止的争论，产生了直观主义者，他们否认排中律在超限归纳中的有效性．柯尔莫哥洛夫在1925年证明：超限地使用排中律所得到的有限结论都是对的，而且都可以不用排中律来证明．他还构造了他的直观演算系统，从而创造了直观逻辑的另一种解释．1925年他证明了希尔伯特变换的一个车贝雪夫型不等式，这是M．里斯(Riesz)、A．济格蒙德(Zygmund)、G．H．哈代(Hardy)等著名数学家关于奇异算子弱型概念研究的起点．作为柯尔莫哥洛夫开创性成果的核心部分之一是概率论与随机过程．这一研究起始于他大学的第四年(1924年)，他与辛钦一起研究独立随机变量组成的级数的收敛性，得到了以后被称为柯尔莫哥洛夫三级数定理的成果，其中他首次使用了以后用他命名的不等式以及相应的下限估计，开创了概率论研究中的新方法．1928年他得到了独立随机变量列遵从大数律的必要且充分的条件．1930年他又得到了独立随机变量列遵从强大数律的一个非常一般的充分条件．这些结果至今是概率论教科书中的标准内容．1929年他又得到了独立同分布随机变量列的重对数律．他的结果和创用的方法是许多作者用来作为研究的泉源，其中如J．马辛凯维茨(Marcinkiewicz)和济格蒙德1937年证明了柯尔莫哥洛夫的结果中的一个小O条件不能改为大O；1941年P．哈特曼(Hartman)与维纳改进了柯尔莫哥洛夫的条件；1965年V．斯特拉森(Strassen)将其推广为泛函类型的重对数律．20世纪初，G．波尔曼(Bohlmann)曾企图给概率论建立一个公理系统．为此，波莱尔A．隆尼斯基(Lomnicki)、维纳相继在概率论中运用测度论，伯恩斯坦、R．冯·米赛斯(vonMises)也都企图建造概率论的公理化基础，但是都不很成功．柯尔莫哥洛夫在他1929年发表的文章“概率论与测度论的一般理论”(General measure theory and calculus of probabilities)，首次给出了测度论基础的概率论公理结构．5年以后该文编写成单行本，即如今在数学界众所周知的经典著作《概率计算的基本概念》(Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung)．概率论的公理化是他的巨大贡献，它使概率论从自然哲学领域真正转到数学的范围，使概率论被确认为数学的一个分支，并且日渐与其他数学分支相互渗透．著名日本数学家伊籐写道“读了柯尔莫哥洛夫的小册子《概率论基本概念》，我信服地认为概率论可以用测度论来发展，并且它也与其他数学分支一样地严格”．柯尔莫哥洛夫在这单行本的序言中还列出了无穷维空间的概率分布、条件期望，指出这些都源自物理问题．事实上它们也是随机过程论的必要基础．在50多年以后的今天，它的意义就更明显了，它是概率论划时代的著作，柯尔莫哥洛夫在1930夏完成的小册子《概率论中的解析方法》(ber,die analytischen Methoden in Wahrscheinlichkeitrechnung)开创了无后效随机过程(以后辛钦建议改名为马尔科夫过程)的一般理论的研究，把物理学家M．普朗克(Plank)、爱因斯坦、A．福克(Fokker)等在特殊情形得到的关于转移函数的一个积分方程一般化［以后称为恰普曼(Chapman)-柯尔莫哥洛夫方程］，并且由此导出了时间向前与向后的两个偏微分方程(称为柯尔莫哥洛夫方程)．在马尔科夫过程的发展中，他把傅里叶的传热理论、爱因斯坦与斯摩罗霍夫斯基的布朗运动理论、马尔科夫等人关于可几随机徘徊的描述与首次构造随机过程例子的巴舍利艾与维纳的思想结合在一起，抽象出了马尔科夫过程的一般模型．这个工作标志着概率论发展及其在物理、化学、生物、工程等方面的应用的新时期．在这个时期，他的另一文章“拉普拉斯-李雅普诺夫定理的推广”(An extention of Laplace－Lypunov theorem，1931)，给出了获得独立随机变量和的上、下界概率的渐近展开的基本方法．
柯尔莫哥洛夫开创工作的第二阶段始于1931年他被任为教授之后．这时期持续了1／4个世纪，在此期间他的研究兴趣极其广泛．1932年他发表了两篇关于几何的文章“射影几何证法”(Кобоснованиюпроективной геометри)和“拓扑几何”(Топологической геометрии)，用拓扑、群的观点研究几何．在他建议下，Л．庞特里亚金(Понтрягин)证明了具有可数基的连通局部紧拓扑域一定是实数域、复数域或四元数广域之一．在代数拓扑领域中上同调群是一个核心的概念．1936年柯尔莫哥洛夫与美国数学家J．W．亚历山大(Alexander)相互独立地构造了上同调群，并在其上定义了乘积运算，使之成为环，这在以后的研究(特别是连续映射)中极为重要．他在拓扑上的第二个贡献是给出了局部紧空间闭集的对偶律．1937年，他给出了一个从一维紧集到二维紧集的开映射，引起了苏联拓扑学家对开映射的兴趣．
这时期，概率论仍旧是他的主要专业之一，他非常重视随机过程的应用．1932年他积极参与了著名生物学家Д．Д．罗玛晓夫(Ромащов)领导的生物微演化的实验室．由于马尔科夫过程是动力系统在随机情形的对等物，两者互相渗透会产生很多新的概念和现象，所以马氏过程始终是许多研究的重点．1935年他又提出了可逆(对称)马氏过程的新模型，并给出了刻画其特征的充要条件．40多年后的今天，可逆马氏过程已成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构等领域中十分常见的重要模型．在20年代末30年代初 B．德·菲乃蒂(de Finetti)提出了“无穷可分律”，指出了具有特征函数
和同分布，柯尔莫哥洛夫在1932年对具有二阶矩的随机变量给出了它具有无穷可分律的充要条件．以后，勒维证明了有限方差这个限制可以取消，随后辛钦又证明了这一结果仍可用柯尔莫哥洛夫的方法得到(最终的表达式称为无穷可分律的勒维-辛钦典则形式)．
柯尔莫哥洛夫还解决了一系列生物学问题，由此得到了十分有意义的纯数学的成果．他与И，Г彼得洛夫斯基(Петровский)及H．C．比斯库诺夫(Пискунов)合作的有关生物学的文章(1937)，首次构造了非线性扩散的行波型稳定解．他在其中的贡献是从物理方面定性地描述现象的图象，并把它表示为公式．生物学问题导致他提出了分枝过程的模型，并研究了它的灭绝概率(1947年)．1939年，他由分析统计资料验证了基因遗传的“孟德尔(Mendle)律”(当时基因与孟德尔律在苏联生物学界被批判为“唯心主义”、“反科学”的)．
1937年，他给出了在金属随机结晶过程中一个给定的点属于结晶团的概率与平均结晶的数目，这一结果在金属结晶化理论中至今仍是基本的结论．
1933年，他与M．A．列沃托维奇(Леотович)给出了A．K．伏拉索夫(Власов)提出的二维布朗质点为中心、半径为ρ的圆盘在t时刻前扫过的平均面积的渐近估计．
1936—1937年，他给出了可数状态马尔科夫链的状态分类．
在数理统计方面，1933年他定义了度量经验分布与理论分布最大偏差的(以后以他命名的)统计量，并推导了它的分布函数．这是分布拟合理论中拟合度的基本检验，已成为数理统计教科书的基本内容．
1935年他首次给出了巴拿赫空间上概率测度的特征泛函这一概念，并指出它在发展非线性量子理论中的重要性．
他在平稳随机过程方面的成就与维纳的成就并列为该领域最基本的成果．具连续谱的元阻尼随机运动是平稳过程的丰富源泉，平稳过程是概率特征不随时间变化的随机过程，常出现在无线电工程、自动控制等应用领域，是大量随机自然现象(大气、海洋等)的理想化．其中的一个重要问题是用过去的资料预测将来．他早于维纳(1941)得到了预测与内插的公式．维纳指出柯尔莫哥洛夫的研究是与控制学有关的信息统计理论相联系的．在柯尔莫哥洛夫的研究中应用了希尔伯特空间的几何理论．
平稳过程与平稳增量过程的研究使他得到了局部迷向湍流的近似表达式．流体有确定性的规律，但是其运动特征又极端复杂，可以把它看成随机过程．20世纪著名的工程师G．L．泰勒(Tay－lor)与T．冯·卡门(von Krmn)引进了迷向湍流，然而其结论与实验不符，柯尔莫哥洛夫用局部迷向湍流得到了著名的“柯尔莫哥洛夫2／3次律”：在特定条件下，湍流中距离为r的两点的速度差的平方平均与r2/3成正比．这个2／3律至今还被大气物理界公认为几乎是关于湍流的所有结果中最与实际相近的．1962年他又作了更为精确的修正．
他在概率论、随机过程与数理统计方面的贡献，说明他是随机数学领域的领导人．他不仅是一个多方面的数学家，而且是一个有惊人洞察力的应用数学家．
1949年格涅坚科与他一起发表的《独立随机变量和的极限分布》(Пределъные теолемы для сумм неэависимых случайныхвеличин)一书，总结了莫斯科学派当时在弱极限理论方面的世界领先的成果，成为弱极限理论的经典著作．
在逼近论方面，1935—1936年他研究了光滑性与逼近度的关系，引进了一种逼近的度量(以后称为柯尔莫哥洛夫直径)，开创了逼近论领域中的新方向．60年代以后柯尔莫哥洛夫直径受到了更大的重视．
在泛函分析方面，他在1931年得到了Lp空间中集合为紧的判别法．在1934年定义了线性拓扑空间与其中的有界集和凸集，得到了可正规化的经典判别法(存在0点的一个有界凸邻域)．1938年柯尔莫哥洛夫与И．M．盖尔范德(Гелъфанд)合作的文章是后者以后开创赋范环理论的源泉．他们证明了两个满足第一可数公理的拓扑空间的同胚性与在它们上的连续函数环间的代数同构性等价．
他的第三个开创性研究时期开始于50年代中期．这时，他的研究方向转向经典力学哈密顿系统、信息论、动力系统的遍历论、信息论与函数论的关系(ε熵)、希尔伯特第13问题和函数的迭合、有限自动机与复杂性理论等领域．
50年代中期他与B．A．乌斯宾斯基(Успенский)对算法与自动机理论的基本对象给出了广泛的定义．
在这时期他在动力系统方面的工作可分为两个系列．第一个系列是经典力学方面的．太阳系能否永恒发展而不会引起灾变？简单行星系是否只有三体系统才能稳定地运动？这个问题归结于研究近似可积系统的运动体系．庞加莱称它为哈密顿系统在微扰下的发展问题．它是动力学基本问题，可溯源到Ⅰ．牛顿(Newton)、P．S．拉普拉斯(Laplace)的研究．柯尔莫哥洛夫在50年代中期对具大量初始条件的情形解决了这个问题，开创了哈密顿系的微扰理论．从他的定理可推出：围绕木星作圆轨道转动的卫星，在经受沿椭圆轨道的木星运动的干扰下，并不能影响木星的椭圆轨道．他的理论还可用到大量力学、物理学问题中，解决了不对称刚体统定点高速旋转的稳定性、托卡马克(Токамак)型系统中磁面的稳定性等问题．他的思想后来被A．И．阿诺尔德(Арнолд)与J．莫泽(Moser)所发展，成为以他们三人命名的KAM理论．
他研究动力系统的第二系列是把信息论应用于研究系统的遍历性质．G．E．仙农(Shannon)用直观定义的熵有深刻的内涵，柯尔莫哥洛夫给出了严格的数学定义及推广，他引入了距离空间上的ε熵及ε容度作为逼近论中的崭新工具，1958年又进一步把熵参数引进动力系统的研究．30年代冯·诺伊曼证明了具有纯点谱并有相同谱点的两个动力系统(动力系统是指测度空间及其上的一个保测自映射)是同构的．柯尔莫哥洛夫和他的学生Ю．Г．希那依(Синай)定义了一个熵型不变量(以后称为柯尔莫哥洛夫-希那依嫡或K－S嫡)，用它来证明不同参数p(0＜p＜1)的伯努利模型虽然具相同的谱点，但是它们彼此并不同构，从而彻底回答了冯·诺伊曼问题(即具有相同谱的两个动力系统是否同构问题)．K－S熵至今是动力系统中最为成功的不变量(虽然它并不完备)，它的发现标志着动力系统理论有了崭新的开始．
希尔伯特第13问题是要证明方程f7＋xf3＋yf2＋zf+1=0的解f(x，y，z)不能表成两变量函数的叠合．柯尔莫哥洛夫在1956年证明：任意一个四变量连续函数都能表成三变量连续函数的叠合(这是他认为技巧性最复杂的成就，是他花费了一生中最长的连续思考时间所完成的)．翌年春，他的学生——三年级的大学生A．И．阿诺尔德(Арнолд)彻底解决了这个问题，推翻了希尔伯特的猜测．不久，柯尔莫哥洛夫又简化为如下的精美构造：任意整数n≥2，必有[0，1]上的连续函数族｛ij(·)｝，使［0，1］n上任意连续函数j都能表成
这里i(·)是实数上连续函数．这个定理在如今已成为人工神经网络设计的理论基础．
这一时期柯尔莫哥洛夫继续保持着研究概率论的兴趣．1956年，他得到了用无穷可分律去一致逼近独立同分布随机变量的和的阶为n-1/5．1963年他又改进为n-1/3．1983年又被T．B．阿拉克(Apak)和A．Ю．沙以切夫(Эаицев)改进为最佳阶n-2/3．这个结果比经典正态近似的贝莱-艾森(Berry－Essen)界n-1/2精确得多．
1956年他与Ю．B．普罗霍洛夫(Прохоров)合作的关于距离空间上概率的弱收敛的文章总结了他们所开创的取值于函数空间的概率测度的弱极限理论，这些理论和1955—1956年A．B．斯格罗霍特(Скороход)引进的D空间理论构成了弱极限理论中具划时代性的成果．
60年代，柯尔莫哥洛夫又开创了两个新的数学分支——演算信息论和演算概率论．对一个n位二进列定义“复杂度”似乎很难避免某种任意性，他与R．J．索洛莫诺夫(Solomonoff)的基本发现是利用演算论可在不计有界项的差别的意义下定义“复杂度”，并使其任意性受到限制．在演算概率论中的一个重要问题是如何判断一个二进数列是随机的，冯·米赛斯早在20世纪初就提出：一个二进列为随机的，如果它对一类按某种容许选择规则选定的子列都有相对稳定的0出现率．柯尔莫哥洛夫在1963年拓广了这种选择规则(称之为频率法)．随后又与他的学生P．马丁-洛夫(Martin－Lf)和L．A．列温(Levin)用极大复杂度来定义随机性的新概念．1986年他和乌斯宾斯基在伯努利协会首届国际会议上作了“演算和随机性”的大会报告，这是随机性演算方法的极为重要的综述．
从60年代开始至1985年，柯尔莫哥洛夫一直保持着对语言学统计研究的兴趣．他引入了语言的熵，并把它分成语义信息与语言信息(剩余熵)，开创了语言统计学的新领域．
柯尔莫哥洛夫的开创性工作在数学的一系列重要领域中提供了新方法，打开了新思路，开辟了新方向，揭示了不同数学领域间的本质联系，并广泛地提供了它们在物理、化学、气象、生物、力学、工程、人工神经网络、金属结晶学、控制论、计算机、比较语言学等学科中的应用前景．他创造的大量构造方法和基本引理至今在不同领域中经常引用，其中绝大部分都已成为教科书和专著中的经典内容．
他的选集已出版了三卷：第一卷《数学与力学》，致力于确定性现象，也可以说是涉及“序”的领域；第二卷《概率论与数理统计》涉及随机过程与混沌现象；第三卷《信息论与算法论》，其基本思想是：序和随机及混沌之间并无明确界限．把随机性的思想归结为算法复杂性，力图揭示“序”与“混沌”的本质，是他开创生涯的统一源泉．在这观念下，他所研究的所有方面似乎都能融化为一体，统一的思想联系着概率论思想、算法论与数理逻辑结构、信息论方法与概念、动力系统与遍历论，以及研究自然现象的试图．而他的许多早期工作，包括函数论、描述集合论等都可视为他实现这一宏图的前奏．
他的主要贡献可以概括为：继承了牛顿、拉普拉斯、庞加莱的路线，试图解释太阳系运动永恒性的奥秘，并在这个问题上得到了满意的成果；解决了关于多变量函数基本结构的希尔伯特第13问题；开创了无后效过程的理论研究，在此基础上统一了傅里叶、普朗克、爱因斯坦、斯摩罗霍夫斯基的思想；发现了新的湍流统计规律，本质上发展了泰勒与冯·卡门理论；与辛钦、维纳一起给出了弱平稳过程的构造，并解决了信号滤波问题(现已成为石油探测数据处理中的重要数学方法)；引进了大量十分重要的数学概念(如线性拓扑空间、上同调、动力系统的熵、柯尔莫哥洛夫复杂性等)；对许多重要的基本概念作出了精辟的解释(如测度、积分、导数等)；研究了数学逻辑的基本结构；开创了十多个新的研究方向，并给出新方法．
柯尔莫哥洛夫进行科学研究的特点是：几乎在他所关心的所有领域，都首先创建了几个基本原理，接着让他的学生继续进行研究，达到深入完备的程度，最后吸引大量研究人员加入，写综合报道，出专集，开交流会议，形成科学方向和学派．他是他的学生领导的许多学派的奠基人．
对于学生，柯尔莫哥洛夫为他们创造了要求严格而且神圣的科学研究气氛．他具有激发他们创造力的能力，发现适合每个人特点的问题和任务．他与他们分享自己的思想，这些都使他的学生铭刻终生，
从30年代起，他就致力于领导全国数学奥林匹克，定时地给学生讲课．但是，他认为它的意义不仅在于体育式的竞赛，更重要的是发现数学天才并给他们以较为全面的数学知识训练而不是只教他们作一些特殊问题以便夺取冠军．他指出：奥赛的成功固然值得高兴与骄傲，但是失败了也不必伤感到看不见自己的能力，“在非常局限的时间内解答问题常使许多人感到困惑，而有些数学问题只可能在经长时间的孜孜不倦地冥思苦索，并引进新概念后才能得到解决．苏联著名拓扑学家亚历山德罗夫就解决了很多这类问题，这并非偶然．亚历山德罗夫多次说，他年轻时幸而没有数学奥赛，否则就很有可能使他不能成为数学家．亚历山德罗夫在数学上的成就绝非智慧火花的闪烁，而是长期深思熟虑的成果．”柯尔莫哥洛夫认为奥赛优胜者常会停留在对类似于奥赛的问题作精细加工，而并未达到解决那些需要冗长的推理和研究的数学问题的水准．为了补救这个不足，他及其他教授们就给优胜者举办暑期学校，给他们讲课(如有限域与布尔代数、集论、群论、力学、数论等)，并在莫斯科大学附设数理学校，让学生做大量习题，解决实际问题，还伴以音乐、文学、体育等活动．
他具有发现重要数学概念的能力，亚历山德罗夫诙谐地说过，数学天才有敏捷型与迟缓型两种，柯尔莫哥洛夫属于前者，而希尔伯特属于后者．然而柯尔莫哥洛夫的思想还不如他自己的洞察力与掌握问题的能力更敏捷，一些模糊而粗线条的“轮廓”常引起他的注意，并且立即被他纳进他的有次序而完备的系统中去，以求得到最终的解决．他对经典力学、遍历论、函数的迭合等基本问题的模糊思想在30年代中期就已开始酝酿，直到50年代中期才达到最终的确切形式．
柯尔莫哥洛夫把创造性才能分为演算性的、几何性的与逻辑性的．他非常善于与学生们交往，并把他们自己未意识到的能力发挥出来．
他喜爱旅行、滑雪、俄国诗与美术，尤其热爱油画与建筑．他与亚历山德罗夫的交往是互补的，后者是音乐、戏剧的鉴赏家．柯尔莫哥洛夫从不夸谈自己的成就、衔头与地位，并不看重金钱与物质条件，他把巴尔桑奖的奖金捐给了学校图书馆，而沃尔夫奖金他未曾去领取．柯尔莫哥洛夫为科学事业无私地贡献了他的光辉的一生．
