UVALive 3938 - "Ray, Pass me the dishes!" - [最大连续子列和+线段树]
题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/UVALive-3938
参考刘汝佳书上说的：
题意:
给出一个长度为n的序列, 再给出m个询问, 每个询问是在序列 $[a,b]$ 之间的最大连续和. 要你计算出这个这个区间内最大连续和的区间 $[x,y](a \le x \le y \le b)$；
思路：
1、构造线段树，其中每个结点维护3个值，最大连续子列和 $max\_sub$，最大前缀和 $max\_prefix$，最大后缀和 $max\_suffix$。
具体来说，
$max\_sub(a,b)$ 是满足 $a \le x \le y \le b$ 且 $D_x+D_{x+1}+…+D_y$ 最大的二元组 $(x,y)$；
$max\_prefix(a,b)$ 是满足 $a \le x \le b$ 且 $D_a+D_{a+1}+…+D_x$ 最大的整数 $x$；
$max\_suffix(a,b)$ 是满足 $a \le x \le b$ 且 $D_x+D_{x+1}+…+D_b$ 最大的整数 $x$；
例如 $n=64$，询问为 $(20,50)$，则线段 $[20,50]$ 在线段树的根结点处被分成了两条线段 $[20,32]$ 和 $[33,50]$。则 $max\_sub(20, 50)$ 的起点和终点有3种情况：
情况一：起点和终点都在 $[20,32]$ 中，则 $max\_sub(20,50)＝max\_sub(20,32)$。
情况二：起点和终点都在 $[33,50]$ 中，则 $max\_sub(20,50)＝max\_sub(33,50)$。
情况三：起点在 $[20,32]$ 中，终点在 $[33,50]$ 中，则 $max\_sub(20,50)＝max\_suffix(20, 32) + max\_prefix(33,50)$。
类似地 $max\_suffix$ 和 $max\_prefix$ 也可以这样递推，建树的时间复杂度为 $O(n)$，单组查询的时间复杂度为 $O(\log n)$。
当然，我们实际上做的话，没这么简单：
我们每个线段树节点都维护以下几个值：
max_sub:最大连续子列和
max_pre:最大前缀和
max_suf:最大后缀和
pre_i:最大前缀的结束位置
suf_i:最大后缀的开始位置
sum:区间总和
根据上面刘汝佳书上的三种情况可以写出pushup()函数（前缀和、后缀和的更新也在包含里面），然后后面的build()和query()两个函数都可以用pushup()函数。
更多详细的情况，都在代码里体现了。
AC代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define MAXN 500000+5 4 typedef long long ll; 5 using namespace std; 6 struct Node{ 7 int l,r; 8 ll sum,max_sub,max_pre,max_suf;//区间和,最大连续子列和,最大前缀和,最大后缀和 9 int sub_l,sub_r,pre_i,suf_i;//最大连续子列和的边界,最大前缀和的边界,最大后缀和的边界 10 }node[4*MAXN]; 11 int n,m,a[MAXN]; 12 void pushup(Node& root,Node& lchild,Node& rchild) 13 { 14 root.sum = lchild.sum + rchild.sum; 15 16 if(lchild.max_pre >= lchild.sum + rchild.max_pre) 17 { 18 root.max_pre = lchild.max_pre; 19 root.pre_i = lchild.pre_i; 20 } 21 else 22 { 23 root.max_pre = lchild.sum + rchild.max_pre; 24 root.pre_i = rchild.pre_i; 25 } 26 27 if(lchild.max_suf + rchild.sum >= rchild.max_suf) 28 { 29 root.max_suf = lchild.max_suf + rchild.sum; 30 root.suf_i = lchild.suf_i; 31 } 32 else 33 { 34 root.max_suf = rchild.max_suf; 35 root.suf_i = rchild.suf_i; 36 } 37 38 root.max_sub = lchild.max_sub; 39 root.sub_l = lchild.sub_l; 40 root.sub_r = lchild.sub_r; 41 if(lchild.max_suf + rchild.max_pre > root.max_sub || (lchild.max_suf + rchild.max_pre == root.max_sub && lchild.suf_i < root.sub_l)) 42 { 43 root.max_sub = lchild.max_suf + rchild.max_pre; 44 root.sub_l = lchild.suf_i; 45 root.sub_r = rchild.pre_i; 46 } 47 if(rchild.max_sub > root.max_sub) 48 { 49 root.max_sub = rchild.max_sub; 50 root.sub_l = rchild.sub_l; 51 root.sub_r = rchild.sub_r; 52 } 53 } 54 void build(int root,int l,int r) 55 { 56 node[root].l=l; 57 node[root].r=r; 58 if(l==r) 59 { 60 node[root].sum=a[l]; 61 node[root].max_sub=a[l]; node[root].sub_l=l; node[root].sub_r=l; 62 node[root].max_pre=a[l]; node[root].pre_i=l; 63 node[root].max_suf=a[l]; node[root].suf_i=l; 64 } 65 else 66 { 67 int mid=l+(r-l)/2; 68 build(root*2,l,mid); 69 build(root*2+1,mid+1,r); 70 pushup(node[root],node[root*2],node[root*2+1]); 71 } 72 } 73 Node query(int root,int st,int ed) 74 { 75 if(st==node[root].l && node[root].r==ed) return node[root]; 76 77 int mid=(node[root].l+node[root].r)/2; 78 if(ed<=mid) return query(root*2,st,ed); 79 else if(st>mid) return query(root*2+1,st,ed); 80 else 81 { 82 Node r1=query(root*2,st,mid); 83 Node r2=query(root*2+1,mid+1,ed); 84 Node ans; 85 86 ans.l = st, ans.r=ed; 87 pushup(ans,r1,r2); 88 89 return ans; 90 } 91 } 92 int main() 93 { 94 int kase=0; 95 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 96 { 97 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); 98 build(1,1,n); 99 printf("Case %d:\n",++kase); 100 for(int i=1,l,r;i<=m;i++) 101 { 102 scanf("%d%d",&l,&r); 103 Node ans=query(1,l,r); 104 printf("%d %d\n",ans.sub_l,ans.sub_r); 105 } 106 } 107 }
PS.这道题可以说要对普通线段树模板进行巨大的改动，是一道可以加深对线段树理解的好题。
