数据结构（势能线段树）

https://www.luogu.com.cn/problem/P10516

第3题     数据结构 查看测评数据信息

给定两个长度为 n 的序列 a[i] 和 b[i]。有以下三种操作：

1. 给定区间 [l,r] 以及参数 k,t，把区间内满足 a[i]* b[i]<= k 的位置的 a[i] 和 b[i] 分别加上 t。

2. 给定 i 和 x,y，将 a[i] 改为 x，b[i] 改为 y。

3. 查询区间内每个位置 a[i]+b[i] 的和。

输入格式

 

第一行包含两个整数 n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示 a[i]。

第三行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示 b[i]。

接下来 m 行每行包含 3 到 5 个整数，表示一个操作，具体如下：

1. 1 l r k t：将区间 [l,r] 进行一操作。

2. 2 i x y：将 a[i] 改为 x，b[i] 改为 y。

3. 3 l r：输出区间 [l,r] 内每个数的和。

1<= n,m<= 1e5，0<= a[i],b[i],k,t,x,y<=1e5

 

输出格式

 

若干行，每行表示操作 3 的答案。

 

输入/输出例子1

输入：

5 5

23 4 3 3 7

54 29 7 1 2

1 1 5 114 1

2 2 7 9

3 1 5

3 1 2

3 3 4

 

输出：

122

93

18

 

样例解释

 

第一次修改后，序列 a[i] 为：{23,4,4,4,8}；序列 b[i] 为 {54,29,8,2,3}。

第二次修改后，序列 a[i] 为：{23,7,4,4,8}；序列 b[i] 为 {54,9,8,2,3}。

 

 

势能线段树概念（重要）

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本质上是一种区间暴力修改技术。

考虑普通的区修线段树，我们使用 lazytag 来记录区间修改信息，在访问到当前节点之后再将当前节点的 tag 下传。

然而，有很多信息是不好下传的（不满足交换或结合律），于是我们就无法使用 tag 来记录区修信息。但有的题目每一个操作都有潜在的操作次数上限，我们可以先判断该区间有没有需要操作的节点，有的话遍历到叶子节点进行修改，没有的话返回。

 

 

 

 

 

单调操作，区间查询，很容易想到线段树

操作二，三都是板子，我们关注一下操作一

分析一下操作一

看上去是区间修改，但是下放lazy_tag发现很难，对于修改也很难（不知具体改哪一个点），原因就是此操作不满足区间性（区间的每个值同时加减乘除等等吧）。所以考虑单点修改

由于每次操作完

a[i]*b[i] 都变成 (a[i]+t)*(b[i]+t)

我们化简。a[i]*b[i] + a[i]*t + b[i]*t + t*t

注意到最后一项，这样就说明这个值的增长是非常快的，操作次数不超过 sqrt(k) 就可以到上限

但是注意，这里 t不为0，才能增长，否则就是无意义的。

还有一点，要维护一个区间最小值，因为只有<=k的值才能进行修改。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+5;

struct node
{
	int Min, sum;
}tr[N];
int n, m, x, y, op, a[N], b[N], L, R, k, t;
void push_up(int id)
{
	tr[id].sum=tr[id*2].sum+tr[id*2+1].sum;
    tr[id].Min=min(tr[id*2].Min, tr[id*2+1].Min);
}
void build(int id, int L, int R)
{
    if (L==R)
    {
        tr[id].sum=a[L]+b[L];
        tr[id].Min=a[L]*b[L];
        return ;
    }
     
    int mid=(L+R)>>1;
    build(id*2, L, mid);
    build(id*2+1, mid+1, R);
     
    push_up(id);
}
void change(int id, int L, int R, int x, int y, int k, int t)
{
	if (tr[id].Min>k) return ;
    if (L==R)
    {
        a[L]+=t;
        b[L]+=t;
        tr[id].sum=a[L]+b[L];
        tr[id].Min=a[L]*b[L];
        return ;
    }
     
    int mid=(L+R)>>1, flag=1;
    if (x<=mid) change(id*2, L, mid, x, y, k, t);
    if (y>=mid+1) change(id*2+1, mid+1, R, x, y, k, t);
     
	push_up(id);
}
void change2(int id, int L, int R, int x, int v, int v2)
{
    if (L==R)
    {
        a[x]=v;
        b[x]=v2;
        tr[id].sum=a[L]+b[L];
        tr[id].Min=a[L]*b[L];
        return ;
    }
     
    int mid=(L+R)>>1;
    if (x<=mid) change2(id*2, L, mid, x, v, v2);
    else change2(id*2+1, mid+1, R, x, v, v2);
    
    push_up(id);
}
int ask(int id, int L, int R, int x, int y)
{
    if (x<=L && R<=y) return tr[id].sum;
     
    int mid=(L+R)>>1, res=0;
    if (x<=mid) res+=ask(id*2, L, mid, x, y);
    if (y>=mid+1) res+=ask(id*2+1, mid+1, R, x, y);
     
    return res;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%lld", &b[i]);
    build(1, 1, n);
     
    while (m--)
    {
        scanf("%lld", &op);
        if (op==1)
        {
        	scanf("%lld%lld%lld%lld", &L, &R, &k, &t);
        	if (t==0) continue;
        	change(1, 1, n, L, R, k, t);
        }
        else if (op==2)
        {
        	scanf("%lld%lld%lld", &k, &L, &R);
        	change2(1, 1, n, k, L, R);
        }
        else
        {
        	scanf("%lld%lld", &L, &R);
        	printf("%lld\n", ask(1, 1, n, L, R));
        }
    }
    return 0;
}