扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法

常用来计算不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解，采用递归的计算流程

\[\gcd(a,b)=ax+by\\ \]

根据欧几里得定理可知

\[\gcd(a,b)=\gcd(b,a\ \mathrm{ mod}\ b)\\ \gcd(b,a\ \mathrm{ mod}\ b)=bx_1+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y_1 \]

拆开括号移项后得到

\[\begin{align} \gcd(a,b)&=ax+by\\ \gcd(b,a\ \mathrm{ mod}\ b)&=ay_1+b(x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1)\\ \Rightarrow x=y_1&,y=x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1 \end{align} \]

当递归计算 \(\gcd(a,b)\) 中的 \(b = 0\) 时，\(ax=\gcd(a,0)=a\) ，此时应当返回 \(x=1,y=0\)；逐层向上回代计算

最终求得特解 \(x_0,y_0\) ，然后考虑通解的构造

\[\left\{ \begin{align} x=x_0+\frac{b}{\gcd(a,b)}\times k\\ y=y_0-\frac{a}{\gcd(a,b)}\times k\\ \end{align} \right. \]

这样构造的原因是可以满足

\[a\left(x_0+\frac{b}{\gcd(a,b)}\times k\right) + b\left(y_0-\frac{a}{\gcd(a,b)}\times k\right)=ax_0+by_0=\gcd(a,b) \]

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
	if (b == 0){
		x = 1, y = 0;
		return 1;
	}
	LL x1, y1, d;
	d = exgcd(b, a % b, x1, y1);//递归计算下一层
	x = y1, y = x1 - a / b * y1;//回代计算
	return d;//返回当前gcd(a, b)
}

不定方程

根据裴蜀定理，可以证明方程 \(ax+by=c\) 存在正整数解当且仅当 $c\equiv 0(\mathrm{mod}\ \gcd(a,b)) $

在计算不定方程的过程中，可以先计算出方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的某个特解

然后将特解 \(x_0,y_0\) 乘上 \(\frac{c}{\gcd(a,b)}\) 得到 \(ax+by=c\) 的特解 \(x_t,y_t\) ，构造通解有：

\[\left\{ \begin{align} x=x_t+\frac{b}{\gcd(a,b)}\times k\\ y=y_t-\frac{a}{\gcd(a,b)}\times k\\ \end{align} \right. \]

同余方程

形如 \(ax\equiv b(\mathrm{mod}\ m)\) 的方程为同余方程，可以利用扩展欧几里得算法求解

\[ax\equiv b\mod m \iff ax=(-my) + b\\ \]

得到 \(ax+my=b\) ，这个不定方程利用扩展欧几里得算法求解后可以得到一组特解（\(b\) 应当被 \(\gcd(a,m)\) 整除）

乘法逆元

当 \(a,m\) 互质时，对于同余方程 \(ax\equiv1(\mathrm{mod\ m})\) 求 \(a\) 的乘法逆元 \(x\)

同样转化为 \(ax+my=1\) ，然后求解 \(ax+my=\gcd(a,m)\) 的特解 \(x\)

最终的逆元应该被表示为 \(x\ \mathrm{mod}\ m\)

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
	if (b == 0){
		x = 1, y = 0;
		return 1;
	}
	LL x1, y1, d;
	d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
	x = y1, y = x1 - a / b * y1;
	return d;
}

LL a, b, x, y;
cin >> a >> b;
LL g = exgcd(a, b, x, y);
cout << (x % b + b) % b;