快速幂笔记

快速幂笔记

快速幂，可以优化指数计算，将朴素的 \(O(n)\) 的时间复杂度优化到 \(O(\log n)\)

原理是，将幂通过二进制拆分，只需要计算拆分后的值，就能组合出完全幂的答案

举例如下：有 \(a^{14} = a^{1110_{(2)}} = a^{1*2^3}*a^{1*2^2}*a^{1*2^1}*a^{0*2^0}\)

又有 \(a^{2^i}=a^{2^{i-1}}*a^{2^{i-1}}\) ，于是我们可以倍增地计算指数积的因子，代码可以这样来实现

• 二进制拆分幂

while (b)//当b的十进制不为0时，即二进制不全为0时
{
	if (b & 1){//按位与1，取出二进制的末尾值,
		......//操作过程
	}
	b >>= 1;//向右移一位
}

• 倍增计算因子

while (b)
{
	if (b & 1) res *= a;//如果取出来的二进制末尾值为1，则将返回值乘上这个因子
	a *= a;//a倍增
	b >>= 1;
}

• 最后返回指数计算答案即可

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推广到一般情况，快速幂也可以应用到任意满足结合律的计算中，例如取模运算，矩阵乘法

即满足 \((x*y)*z = x*(y*z)\ \ \forall x,y,z\) 的运算成立

以洛谷P1226 取模运算为例：对于取模运算，这样两个等式显然成立

\((a*b)(mod)p=\{ a(mod)p*b(mod)p\}(mod)p\)

\((a+b)(mod)p=\{a(mod)p+b(mod)p\}(mod)p\)

可以推出以下变形：\(a^b (mod) p = \{ a^{i_1}(mod)p*a^{i_2}(mod)p*...*a^{i_k}(mod)p \}(mod)p,\sum_i^k=b\)

所以，可以对标准的快速幂函数内进行部分修改，满足上述的等式

long long quickpower_p(long long a, long long b, long long p) {
	long long res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % p;//每个因子都对p取余
		a = a * a % p;//倍增因子同样需要对p取余
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

该题完整代码：

#include <iostream>
using namespace std;

long long a, b, p;

long long quickpower_p(long long a, long long b, long long p) {
	long long res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	cin >> a >> b >> p;
	cout << a << '^' << b << " mod " << p << "=" << quickpower_p(a, b, p) << endl;
	return 0;
}