20241029每日一题洛谷P1024

普及-每日一题洛谷P1024

有形如：\(a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\) 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（\(a,b,c,d\) 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 \(-100\) 至 \(100\) 之间），且根与根之差的绝对值 \(\ge 1\)。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 \(2\) 位。

提示：记方程 \(f(x) = 0\)，若存在 \(2\) 个数 \(x_1\) 和 \(x_2\)，且 \(x_1 < x_2\)，\(f(x_1) \times f(x_2) < 0\)，则在 \((x_1, x_2)\) 之间一定有一个根。

输入

一行，\(4\) 个实数 \(a, b, c, d\)。

输出

一行，\(3\) 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 \(2\) 位。

样例输入

1 -5 -4 20

样例输出

-2.00 2.00 5.00

经典的二分求值问题，这道题题目限制了根的范围：根与根之差的绝对值 \(\ge 1\) ，根的范围在 \(-100\) 至 \(100\) 之间

于是，我们的大致流程就是：

• 通过\(f(x_1) \times f(x_2) < 0\)，寻找到一个区间\((x_1, x_2)\)使得其中必存在一个根

• 由于根与根之差的绝对值 \(\ge 1\) ，所以寻找区间时，可以以 \(1\) 作为一个跨度

• 再使用二分法，在含根区间内找到一个近似根

• 题目要求：精确到小数点后 \(2\) 位，这就存在两种找到根的途径：

  • 二分的mid代入方程中，直接可解出 0

  • 通过左边界l和右边界r向根无限逼近，存在一个精度限制

    通过题目可知：精度需要在小数点后两位，所以在逼近根的时候，只需要控制左边界和右边界的差小于等于\(0.001\)，

    这时不妨举例有：\(l=1.005,r=1.006，root=1.00\) 任意选取l或r作为近似根，保留两位小数后，与根的大小几乎相同，可以认为找到了一个根

代码首先实现\(f(x)\)的操作：

double fx(double x) {
	return a * pow(x, 3) + b * pow(x, 2) + c * x + d;
}

构建fx函数，方便之后调用求值

然后实现在区间内寻找根的函数find：

double find(double l, double r) {
	while (r-l>0.001)//控制近似根的误差小于等于0.001
	{
		double mid = (l + r) / 2;
		if (fx(l) * fx(mid) <= 0)
			r = mid;
		else
			l = mid;
	}
	return l;//返回l或r都可以
}

最后执行在\([-100,100]\)之间寻找含根区间：

for (int i = -100; i <= 100; i++) {
	double l = i, r = i + 1;
	double x1 = fx(l), x2 = fx(r);
	if (x1 == 0) {//判断端点值是否恰好为根
		printf("%.2lf ", l);
		cnt++;
		continue;
	}//只用判断左端点
	if (x1 * x2 < 0) {
		printf("%.2lf ", find(x1,x2));
		cnt++;//记录根的个数
	}
	if (cnt == 3) return 0;//根全部解完后直接退出
}

完整AC代码：

double a, b, c, d;
double fx(double x) {
	return a * pow(x, 3) + b * pow(x, 2) + c * x + d;
}

double find(double l, double r) {
	while (r-l>0.001)
	{
		double mid = (l + r) / 2;
		if (fx(l) * fx(mid) < 0)
			r = mid;
		else
			l = mid;
	}
	return l;
}

int main()
{
	scanf("%lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &d);
	int cnt = 0;
	for (int i = -100; i <= 100; i++) {
		double l = i, r = i + 1;
		double x1 = fx(l), x2 = fx(r);
		if (x1 == 0) {
			printf("%.2lf ", l);
			cnt++;
			continue;
		}
		if (x1 * x2 <= 0) {
			printf("%.2lf ", find(x1,x2));
			cnt++;
		}
		if (cnt == 3) return 0;
	}
	return 0;
}