新征程5.4 动态规划（一）

动态规划

$by$ Cr_deviance

DP入门

B3635 B3637
这是两道DP的入门题，可以先从这两题入手，熟悉一下动态规划的基本思想，以及动态规划中状态及状态转移方程的设计思路，帮助各位初学者（~~julao~~）对动态规划有一个初步的了解。不讲，逃（

记忆化搜索

记忆化搜索（Memoization Search）：是一种通过存储已经遍历过的状态信息，从而避免对同一状态重复遍历的搜索算法。
记忆化搜索是动态规划的一种实现方式。在记忆化搜索中，当算法需要计算某个子问题的结果时，它首先检查是否已经计算过该问题。如果已经计算过，则直接返回已经存储的结果；否则，计算该问题，并将结果存储下来以备将来使用。

举个例子，比如「斐波那契数列」的定义是：$f(0) = 0, f(1) = 1, f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)$。如果我们使用递归算法求解第 $n$ 个斐波那契数，则对应的递推过程如下：
从图中可以看出：如果使用普通递归算法，想要计算 $f(5)$，需要先计算 $f(3)$ 和 $f(4)$，而在计算 $f(4)$ 时还需要计算 $f(3)$。这样 $f(3)$ 就进行了多次计算，同理 $f(0)$、$f(1)$、$f(2)$ 都进行了多次计算，从而导致了重复计算问题。

为了避免重复计算，在递归的同时，我们可以使用一个缓存（数组或哈希表）来保存已经求解过的 $f(k)$ 的结果。如上图所示，当递归调用用到 $f(k)$ 时，先查看一下之前是否已经计算过结果，如果已经计算过，则直接从缓存中取值返回，而不用再递推下去，这样就避免了重复计算问题。

使用「记忆化搜索」方法解决斐波那契数列的代码如下：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        # 使用数组保存已经求解过的 f(k) 的结果
        memo = [0 for _ in range(n + 1)]
        return self.my_fib(n, memo)

    def my_fib(self, n: int, memo: List[int]) -> int:
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        
        # 已经计算过结果
        if memo[n] != 0:
            return memo[n]
        
        # 没有计算过结果
        memo[n] = self.my_fib(n - 1, memo) + self.my_fib(n - 2, memo)
        return memo[n]

我们在使用记忆化搜索解决问题的时候，其基本步骤如下：

写出问题的动态规划「状态」和「状态转移方程」。

定义一个缓存（数组或哈希表），用于保存子问题的解。

定义一个递归函数，用于解决问题。在递归函数中，首先检查缓存中是否已经存在需要计算的结果，如果存在则直接返回结果，否则进行计算，并将结果存储到缓存中，再返回结果。

在主函数中，调用递归函数并返回结果
P1352 没有上司的舞会
 P1434 [SHOI2002] 滑雪
两个比较典的例题。

背包DP

背包问题的定义

一个可承载重量为 $W$ 的背包和 $N$ 件物品，每件物品有一个重量 $w$ 和一个价值 $v$。现在让你用这个背包装物品，要求装入的物品总重量不能超过背包可承载重量 $W$，同时使装入物品的总价值最大。

背包问题的分类

01背包

P2871 [USACO07DEC] Charm Bracelet S

01背包的板子题，大家应该都做过。

~~板子不应该是采药吗？~~

典型例题

题目描述：
有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式：
第一行两个整数，$N$, $V$, 用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数$ v_i$, $w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式：
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围：

0 < $N , V$ ≤ 1000
0 < $v_i , w_i $≤ 1000

实现思路

这里使用二维的状态表示 $f [ i ] [ j ] $，用来表示只从前 $i$ 件物品中选，总体积 $\leq j $。

这样在状态计算中，就可以把集合划分为$ f[ i − 1 ] [ j ] $（即只从前 $ i - 1 $ 件物品中选且不选择第 $ i $ 件物品）， $ f[i - 1] [j - v[i]] + w[i] $（ $v [ i ] $ 表示第 $ i $ 件物品的体积， $w [i]$ 表示第 $i$ 件物品的权重）（即只从前 $ i - 1 $ 件物品中选且选了第 $ i $ 件物品）。

通过以上思路可以得到状态转移方程：
$ \large f[i][j] = max(f [i - 1] [j],f[i - 1] [j - v[i]] + w[i]) $

P1855 榨取kkksc03

完全背包

完全背包模型与 0-1 背包类似，与 0-1 背包的区别仅在于一个物品可以选取无限次，而非仅能选取一次。
所以完全背包主要在状态的计算方面有所不同，由于完全背包问题下所有可以选用的物品数量是无限的。因此状态转移方程为：$ f [i] [j]=max(f[i−1] [j],f [i−1] [j−v[i]]+w[i],...,f[i−1] [j−k∗v[i]]+k∗w[i]) $ 由于$ f [ i ] [ j − v [ i ] ] = m a x ( f [ i − 1 ] [ j − v [ i ] ] , f [ i − 1 ] [ j − 2 ∗ v [ i ] ] + w [ i ] , . . . , f [ i − 1 ] [ j − k ∗ v [ i ] ] + k ∗ w [ i ] ) $

为什么最后一项不是 $f [ i − 1 ] [ j − ( k + 1 ) ∗ v [ i ] ] + ( k + 1 ) ∗ w [ i ] $？

这是因为 $ k $ 的值只与背包最大容量相关

由上面两个公式我们可以推导出：

$ f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − v [ i ] ] ) $

P1616 疯狂的采药