新征程2.17 组合数学（一）

前言：（可略过直接看正文）

说实话，今天讲的的东西还挺多的，这些数学知识并不难，主要是重在理解。（等学了数论你就不会这么想了）我刚才想做几道题，发现我什么都不会，认清楚自己地位的蒟蒻，于是打算写博客。梳理一下知识，然后继续做题。

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组合数—小球与盒子问题

1.球不同，盒不同，可空：
每个球都有m种情况，答案为 \(m^{n}\)

2.球相同，盒不同，不可空：
采用隔板法，一共有n-1个空位，m-1个隔板就能将其分为m部分，答案为\(C_{n-1}^{m-1}\) 。

3.球相同，盒不同，可空：
刚刚为不可空，现在是可空，对于每个盒子，都给它一个球，那么和上个问题就一样了，所以我们可以看做自己有 n+m 个小球，然后我们在排列完之后在每一组都删去一个小球。答案为\(C_{n+m-1}^{m-1}\)

4.球不同，盒相同，不可空：
答案是第二类斯特林数，S[i][j]=S[i−1][j]j+S[i−1]j−1，第二个球可以单独一个盒,即S[i-1][j-1],也可以和前i-1个球放一个盒子里,即S[i−1][j]j,最后相加即可,边界：一个盒子（m=1）的时候只有一种放法

5.球不同，盒不同，不可空
刚刚的情况是球不同，盒相同，不可空，这里不同的是盒不同，即盒子的有序性，所以乘上全排列就行了，答案就是S[n][m]*m！

6.球不同，盒相同，可空
4的情况是球不同，盒相同，不可空，这里可空，枚举用了几个盒子就行了，答案为\({\textstyle \sum_{i=1}^{m}}\) s[n][i]

7.球相同，盒相同，可空
如果只有一个盒子或者没有小球，方案数为 1
如果小球比盒子要少，小球放不满盒子，因为盒子相同，可得 f[i][j]=f[i][i]
如果小球比盒子要多，就分为将盒子放满和没放满两种情况，即 f[i][j]=f[i−j][j]+f[i][j−1]

8.球相同，盒相同，不可空
和上面类似，先将每一个盒子里放一个球， 答案为f[n−m][m]

还有一些需要记忆的的公式

1.c(n,m)=c(n,n-m)

2.c(n,m)=c(n-1,m)+c(n-1,m+1)

3.c(n,0)+c(n,1)+……c(n,n)=\(2^{n}\)

由于时间问题，这两天的博客都没写完，我对此感到哀悼，不过我一定会补齐的。