「动态规划」第2章 数据结构优化 DP

总结

这些题目都是先要列出形式比较好的 DP 转移式。最好是一维、二维数点形式的。然后使用树状数组和线段树优化。有时可以直接上前缀和优化。

此外，为了减少转移式的复杂性，如果某一维度的转移非常简单（例如只 \(dp_{\dots,j}\) 只从 \(dp_{\dots,j-1}\) 转移而来），那么这一维度就可以放在最外层循环。

例题

A. 【例题1】递增子序列

给定一个长度为 \(n\) 的序列，求有多少个子序列满足长度为 \(m\)，并且递增。

答案对 \(123456789\) 取模。

设 \(dp_{i,j}\) 表示 \(i\) 结尾的长为 \(j\) 的上升子序列的个数。\(dp_{i,j}=\sum\limits_{a_k<a_i}dp_{k,j-1}\)。显然这可以用树状数组优化，把 \(j\) 的循环放在外面就可以用一个树状数组搞定。做完了。

B. 基站选址

注意到可以预处理 \(st_i,ed_i\)，表示如果要满足 \(i\) 位置，必须在 \([st_i,ed_i]\) 的村庄中建设至少一个基站。

状态：\(dp_{i,j}\) 表示考虑前 \(i\) 个村庄，强制选择 \(i\)，已经选择了 \(j\) 个的最小代价。

转移：\(dp_{i,j}=dp_{k,j-1}+c_i+cost(i,j)\) 其中 \(cost(i,j)=\sum\limits_{st_o>k,ed_o<i}w_o\)。后者是一个二位数点，将所有村庄按照 \(ed\) 排序，再用线段树维护就行了。

C. 折线统计

注意：连续多个点呈现上升趋势，视为一段上升段。反之亦然。

先把这些点对 \(x_i\) 排序。设 \(dp_{i,j,0/1}\) 表示考虑前 \(i\) 个点，选取了 \(j\) 个，最后一段上升/下降的方案数。

\(dp_{i,j,0}=\sum\limits_{a_k<a_i}(dp_{k,j,0}+dp_{k,j-1,1})\)

\(dp_{i,j,1}=\sum\limits_{a_k>a_i}(dp_{k,j,1}+dp_{k,j-1,0})\)

之后用树状数组优化即可。

D. 免费馅饼

做法略。讲一点关键点：列出了转移的限制之后，检查这个限制能否转化为二维数点。

E. 优美玉米

需要一定的注意力才能注意到“所有操作都一定是后缀操作”。做法略。

F. 地精部落

感觉和 C 题没什么区别，乐。做法略。