概率论

期望

全期望公式

\(E(Y)=E(E(Y|X))\) 说人话就是 \(E(Y)=\sum\limits_XE(Y|X)P(X)\)

很好理解吧。

解方程

期望提很多时候都要用解方程的思想，复用一些量。

例题一： 做一件事有 \(p\) 概率进步 \(1\) 级，也有概率 原地踏步，求进步 \(n\) 级的期望次数。只需要设 \(f_i\) 表示提升 \(i\) 级的次数期望，列出方程 \(f_i=pf_{i-1}+(1-p)f_i+1\) 即可。

例题二：P3232 [HNOI2013] 游走 首先经过分析可得一个点的期望经过次数 \(f_i=\sum\limits_{j\rightarrow i,j\ne n}\frac{f_j}{deg_j}\)，如果是 \(1\) 则额外 \(+1\)。这个东西由于存在环，所以必须用高斯消元解（显然不会有线性相关的方程出现，因此一定有解）。剩下的是好解的。

这里有一点疑问： 上述的 \(f_i,g_i（边的经过次数）\) 是否是定义在 \(i\) 点、边上的？还是说它是定义在所有到达 \(n\) 的方案上的？应当是后者。