斜率优化和决策单调性优化
先推荐几篇比较好的博客吧。
辨析
决策单调性优化适用于满足决策单调性的问题。
斜率优化的适用范围还没学习不清楚。
一般来说斜率优化能做的题目决策单调性优化也能做，但是也有例外，由于过于高深我不知道。除此之外，斜率优化是 \(\mathcal{O}(n)\) 的时间复杂度，而决策单调性优化是 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 的。
听说了一种叫 Smawk 的算法，但过于高深所以不学。
斜率优化
简单来说，就是把 DP 的转移式（从 \(j\) 转移到 \(i\)）中的变量分离为 常数、只与 \(i\) 有关的项、只与 \(j\) 有关的项、与 \(i\) 有关的式乘 \(j\) 相关的式的项 这四类。随后，通过移项，形成了形如 \(y=kx+b\) 的形式（其中 \(x,y\) 和 \(k,b\) 分别对应着 \(i,j\)，或者反过来）。根据处理的方式，可以有两种方式：\(x,y\) 与 \(j\) 有关（\(j\) 形成点）的维护凸壳法，和 \(k,b\) 与 \(j\) 有关（\(j\) 形成直线）的李超线段树法。
辨析4种斜率优化
设转移式为 \(f_x\leftarrow a_xb_y+c_x+d_y\)。其中 \(a_x,b_y,c_x,d_y\) 都代指某个式子（或者说函数）。
- \(a_x\) 单调，\(b_y\) 单调：最经典和简单的一种，只需要使用一个单调队列维护凸壳（也就是说，一边是新的 \((b_y,-d_y)\) 的点的插入，另一边是 \(k=a_x\) 直线在弹出）。（时间复杂度 \(O(n)\)）
- \(a_x\) 不单调，\(b_y\) 单调：和上一种差不多。维护一个单调栈，正常插入新的点。但是查找的时候，要改为二分查找。（时间复杂度 \(O(n\log n)\)）
- \(a_x\) 单调，\(b_y\) 不单调：使用李超线段树。把 \(x\) 变成查询点，\(y\) 变成修改直线。
- \(a_x\) 不单调，\(b_y\) 不单调：同上。
上述前两种对应着 维护凸壳法，后两种对应着李超线段树法。
维护凸壳法
每个可供转移的 \(j\) 都形成了一个点。枚举到 \(i\) 时，我们的 \(b\) 包含 \(dp_i\)，是我们要求的量，而 \(k\) 是已知的量。我们相当于是在求一条斜率固定的直线在与许多点相交时最小/大的截距。而我们注意到（证明待补充）只有在下/上凸壳上的点才有可能被作为转移点，因此我们需要维护凸壳。当我们想要求某个 \(k\) 下的最优的转移点时，注意到（证明待补充）该点两侧的线段斜率分别小于和大于 \(k\)。
一般来说，对于新增的 \(j\)，它的 \(x\) 单调递增，所以可以用单调栈来维护凸壳。（就是说，要插入新转移点前，先弹出栈顶被该转移点“囊括”的不再在凸壳上的点）如果查询的 \(k\) 也单调递增的话，就可以用单调队列，每次把已经不可能用的转移点出队，那么队首就是最优的转移点。（\(O(n)\)）如果 \(k\) 不递增，就必须用二分在单调栈中找出 \(两侧的线段斜率分别小于和大于 k\) 的点。此时注意单调队列末尾斜率 \(\le/\ge\) 就要 pop，否则若横坐标相等，斜率为 \(\infty/-\infty\) 可能导致二分出错。（\(O(n\log n)\)）
倘若 \(x\) 不单调递增怎么办？使用一种在线带修维护凸包的数据结构是可以做的，也或许可以尝试李超线段树的方法。
李超线段树法
每个可供转移的 \(j\) 都形成了一条直线。枚举到 \(i\) 时，我们的 \(y\) 包含 \(dp_i\)，是我们要求的量，而 \(x\) 是已知的量。我们相当于是求许多直线在横坐标为 \(x\) 处的最小/大 \(y\)。这可以用李超线段树 \(O(n\log n)\) 实现。
李超线段树的实现方法如下。
线段树只存储 \(mid\) 处是哪些直线（或者是经过了 \(l,r\) 的线段）产生贡献。对于一次新增直线的操作，判断对区间内左边和右边是否有贡献：
- 都有贡献：打上tag，标记永久化（避免太多直线信息下传带来的巨大时空消耗）
- 只有左或右侧有贡献：进入
- 没有贡献：返回
简单吧。
将直线转线段的方法：转化为横坐标在 \([-inf,inf]\) 之间的线段。
决策单调性优化
判定
大名鼎鼎的四边形不等式：
形式化地 \(dp_i=\min\limits_{j=1}^{i-1} w(j,i)\)
如果对于所有 \(a<b<c<d\)，有 \(w(a,c)+w(b,d)\le w(a,d)+w(b,c)\) 其中 \(\le\) 表示优于，\(w(x,y)\) 表示 \(x\) 到 \(y\) 的代价（可以不包含下标与 \(x\) 有关数组，因为不等式两边都有这个东西就抵消了）。那么就有决策单调性。
一种等价的变形是：对于任意 \(a<b\)，有 \(w(a,b)+w(a+1,b+1)\le w(a,b+1)+w(a+1,b)\)。
实现
有两种实现方式：队列二分 和 分治。
另有一种强大的方式——cdq。
分治
将决策点的值域和决策点数组的位置进行分治。详见 OI-wiki。
好处是，有些代价函数 \(w\) 不是那么好算的，放到分治上会有很好的性质。
最大的缺点是，由于每次先算出 \(mid\) 的决策点，因此前半段的决策点还不知道，如果转移式与 \(dp\) 数组有关就没法做了。此时就要使用队列二分的实现方法。
队列二分
这种实现方式的关键在于 使用三元组 \((l,r,v)\) 来储存决策点数组，从而做到 \(O(1)\) 修改数组的后缀。
详见 OI-wiki。
cdq分治
暂缺。
例题
P4072 [SDOI2016] 征途
推式子，推出一个平方和。然后需要跑 \(m\) 遍 dp，每次基于上一次的数组，所以可以用分治法（其实这题正解是斜率优化）
P3628 [APIO2010] 特别行动队
典题。难点在于推四边形不等式，以及注意队列写法的决策单调性优化不要写错（我没有特判“本次没有修改转移点数组”的情况）
P3515 [POI 2011] Lightning Conductor
首先式子可以写成 \(p\ge a_j+\sqrt{|i-j|}-a_i\)，那么我们求出右侧式子的最大值再向上取整就可以了。
我们从左往右、从右往左做一遍，这样每次就只需要考虑 \(i\) 一侧的 \(j\)，式子也变成了（以从左往右为例）\(w(j,i)=a_j+\sqrt{i-j}-a_i\)。\(w(j,i)\) 是满足决策单调性的，因为 \(\sqrt{i-j+1}+\sqrt(i-j-1)\le 2\sqrt{i-j}\)（\(\sqrt{x}\) 函数的上凸性）。那么我们就可以直接做了。
请注意，不能把 \(\lceil\rceil\) 套在 \(\sqrt{i-j}\) 的外面，因为刚才的证明中依赖了 \(\sqrt{x}\) 函数的上凸性，如果是 \(\lceil\sqrt{x}\rceil\) 就不能保证这一性质了。所以只能把 \(\lceil\rceil\) 放在最外层。
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