根号分治

由于刚学没几天，所以没什么例题。

简介

根号分治是一种用于优化暴力的技巧。

如果对于一个问题，有两种暴力：它们的一部分是复杂度瓶颈，一部分不是，而两者的瓶颈恰好是两个极端。那我们考虑根据某个值的根号分类讨论，结合两种算法，把 \(n\) 的复杂度转化为 \(\sqrt{n}\)。

可以说，根号分治就是一种通过分治取长补短的技巧。在操作类型不平衡的情况下，调整根号运算为 \(n^{\frac{1}{3}}\) 之类的会更快哦。

有些话看起来是废话，但 某个值的总数量一定 是根号分治的一个明显的提示条件。

例题

CF1207F Remainder Problem/P3396 哈希冲突

模板题。

两种暴力：修改时直接修改对应位置 \(O(1)\)，查询时每次跳 \(x\) 地暴力查询 \(O(\frac{n}{x})\)；存 \(c_{i,j}\) 表示对 \(i\) 取模后 \(j\) 位置上的值，这样修改是 \(O(n)\) 的，查询是 \(O(1)\) 的。

只需要从 \(\sqrt{n}\) 处分治，在 \(x\le \sqrt{n}\) 时用第二种暴力，在 \(x>\sqrt{n}\) 时用第一种暴力，复杂度就被压缩到了 \(O(n\sqrt(n))\)。实测 \(n^{0.1}\) 作为分治的界限更快。