欧拉回路

欧拉通路：经过每个点恰好一次的路径

欧拉回路：出发和结束在同一点的欧拉通路

注意以下性质：无向图中，所有点度数之和是偶数；有向图中，所有点入度之和等于出度之和。

欧拉回路一般有两种题型：打印方案和判断可行性

看到“每条边都必须经过”这类条件，应第一时间想欧拉回路。

模板

我只会 Hierholzer 算法，不过另一种算法一点用也没有。

stack<ll> st;
void dfs(ll x)
{
	for(ll i=cur[x];i<(ll)a[x].size();i=cur[x])
	{
		cur[x]=i+1;
		dfs(a[x][i]);
	}
	st.push(x);
}
void hierholzer(ll s)
{
	dfs(s);
	while(!st.empty())
	{
		cout<<st.top()<<" ";
		st.pop();
	}
	cout<<"\n";
}

关于为什么要在函数快返回时入栈：对于欧拉回路没问题，但是如果是欧拉通路就有问题了。因为有可能先走到了结束点（死胡同），此时需要先不输出，跑完剩下的部分（一个欧拉回路），再把这一段放在结尾输出，所以需要用栈。

写码细节：

• 图的特例： 由于这种题一般不会给什么限制，要考虑重边和自环。要考虑图可能不是连通图。
• 欧拉通路起点： 如果是欧拉通路而不是回路，注意起点终点只能从度为奇数的两个点中选择。
• 当前弧优化： 见代码吧。
• 无向图： 要么用邻接矩阵；要么保存每条边对应的编号（正反边用一个编号），然后用vis数组存对应编号是否被通过过即可。

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\(\text{Trick}\) 技巧

类状态机：每个子串出现恰好一次

对于 \(n\) 位 \(k\) 进制数，转化为 \(n-1\) 位 \(k\) 进制数，即可用欧拉回路。见我的题解。

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入度：判定是否可行

可行性的判定依赖入度。详见 OI-wiki。

入度的某些条件 等价于 连通性问题。可利用这一转化维护很多问题的答案。

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