尝试证明四则运算

在了解皮亚诺公理体系后，我突然幻想，尝试构建一个类似的公理体系（在不看标答的情况下）。由于是瞎试，所以肯定有非常多不严谨的地方，权当娱乐罢了。

定义

文字叙述的部分

定义一个表达式由算符和数组成。

算符有以下几个性质：

• 返回值：可以是表达式（布尔）或者数
• 输入值：可以是若干个，类型可以是表达式或数
• 描述：将它与正常逻辑体系中的算符做同构

数可以被一系列规则定义，初始只有一个，是0。可以说，此处的数就是指自然数。可用集合 \(\mathbb{N}\) 表示。

使用一个字母可以代表任意数或表达式（合法的）。数用小写字母，表达式用大写字母。

使用 \([]\) 框住一个表达式，作用相当于 \(()\) 对于数的作用。

这种格式表示假设，用于论证 \(\Rightarrow\) 算符

符号定义的部分

\(\wedge\) 算符：表示与。双目，输入均为布尔。返回布尔。

\(\vee\) 算符：表示或。双目，输入均为布尔。返回布尔。

\(=\) 算符：表示等于。双目，输入均为数，返回布尔。性质：

\[$[a=b] \Rightarrow [b=a]$ \]

\[$[a=b \wedge b=c] \Rightarrow [a=c]$ \]

\(\sim\) 算符：表示非。单目，输入布尔，返回布尔。

\(s\) 算符：表示后继。单目：输入数，返回数。

\(\exist\) 量词：表示存在量词。只能修饰变量。

\(\forall\) 量词：表示全称量词。只能修饰变量。

\(0\) 数字：是一个数（自然数）。

之后再加。

公理

皮亚诺的（我不怎么会用）

1. \([sa=sb]\Leftrightarrow [a=b]\)
2. \(\sim\exist a:sa=0\) 又写作 \(\forall a:sa\neq 0\)
3. \([a\in\mathbb{N}]\Rightarrow[sa\in\mathbb{N}]\)
4. 数学归纳法：存在一个命题 \(F(x)\) ，\([F(0)\wedge[\forall a\in\mathbb{N}:F(a)\Rightarrow F(sa)]]\Rightarrow[\forall a\in\mathbb{N}:F(a)]\) （这个比较关键）

我的

5. \([A\Rightarrow B]\Rightarrow[\sim B\Rightarrow \sim A]\)

等等不再赘述。一般来说我没有证明的我都当作公理了。

一些基本定理

2024/12/16：为了可读性加入了一些分割和自然语言。

加法

符号 \(+\) ，双目，输入均为数，返回数。对于任何两个数都可计算。

定义式

\[$a+0=a$ \]

\[$a+sb=s(a+b)$ \]

交换律

\[$a+b=b+a$ \]

证明：

\[$\large{\mathrm{Lemma\ 1.1：}}$ \]

\[$\mathrm{LET}：0+a=a+0$ \]

\[$0+sa=s(0+a)=s(a+0)=sa=sa+0$ \]

\[$\therefore[0+a=a+0]\Rightarrow [0+sa=sa+0]$ \]

\[$\because0+0=0+0$ \]

\[$\therefore0+a=a+0$ \]

\[$\large{\mathrm{Lemma\ 1.2：}}$ \]

\[$\mathrm{LET}：sa+b=s(a+b)$ \]

\[$s(a+sb)=ss(a+b)$ \]

\[$sa+sb=s(sa+b)=ss(a+b)$ \]

\[$sa+sb=s(a+sb)$ \]

\[$\therefore[sa+b=s(a+b)]\Rightarrow [sa+sb=s(a+sb)]$ \]

\[$\because sa+0=sa=s(a+0)$ \]

\[$\therefore sa+b=s(a+b)$ \]

\[$\large{\mathrm{Theorem\ 1：}}$ \]

\[$\mathrm{LET}：a+b=b+a$ \]

\[$sb+a=s(b+a)=s(a+b)$ \]

\[$a+sb=s(a+b)$ \]

\[$a+sb=sb+a$ \]

\[$\therefore[a+b=b+a]\Rightarrow [a+sb=sb+a]$ \]

\[$\therefore a+b=b+a$ \]

结合律

\[$(a+b)+c=a+(b+c)$ \]

证明：

\[$(a+b)+0=a+b=a+(b+0)$ \]

未完待续。。。