USACO 2019 December Contest, Silver MooBuzz

MooBuzz题解

题目描述

Farmer John 的奶牛们最近成为了一个简单的数字游戏“FizzBuzz”的狂热玩家。这个游戏的规则很简单：奶牛们站成一圈，依次从一开始报数，每头奶牛在轮到她的时候报一个数。如果一头奶牛将要报的数字是 3 的倍数，她应当报“Fizz”来代替这个数。如果一头奶牛将要报的数字是 5 的倍数，她应当报“Buzz”来代替这个数。如果一头奶牛将要报的数字是 15 的倍数，她应当报“FizzBuzz”来代替这个数。于是这个游戏的开始部分的记录为：
1, 2, Fizz, 4, Buzz, Fizz, 7, 8, Fizz, Buzz, 11, Fizz, 13, 14, FizzBuzz, 16

由于词汇的匮乏，奶牛们玩的 FizzBuzz 中用“Moo”代替了 Fizz、Buzz、FizzBuzz。于是奶牛版的游戏的开始部分的记录为：

1, 2, Moo, 4, Moo, Moo, 7, 8, Moo, Moo, 11, Moo, 13, 14, Moo, 16

给定 N（1≤N≤109），请求出这个游戏中第 N 个被报的数。

测试点性质：
测试点 2-5 满足 N≤106。
输入格式（文件名：moobuzz.in）
输入包含一个整数 N。
输出格式（文件名：moobuzz.out）：
输出游戏中被报出的第 N 个数。
输入样例：
4
输出样例：
7
第 4 个被报的数是 7。前 4 个被报的数是 1、2、4、7，因为我们在奶牛说“Moo”时就会跳过数字。

供题：Brian Dean

解题思路

在这里我们采用\(n\)来表示游戏中报的数字数，也就是第N个被报的数，也就是输出的值；用\(k\)来表示输入的值。
采用容斥原理可以得到
\(k=n-\left \lfloor n/3 \right \rfloor-\left \lfloor n/5 \right \rfloor+\left \lfloor n/15 \right \rfloor\)
可以改写为
\(k=n-(n/3-\alpha)-(n/5-\beta)-(n/15-\gamma)\)
其中,\(\alpha,\beta,\gamma \in [0,1)\)
上式可以改写成:\(n=(k*15-15*\alpha-15*\beta+15*\gamma)\)
采用放缩法，令\(\alpha=\beta=1,\gamma=0\) 得
\(n_{lowBownd}=(k*15-30)/8 \approx(k/8)*15-4\)
然后从\(n_{lowBownd}\)向上搜索答案。

代码

`
long long calc(long long k, long long n)
{ return k == (n - n / 3 - n / 5 + n / 15);
}

int main()
{
ofstream fout("moobuzz.out");
ifstream fin("moobuzz.in");
long long k;
fin >> k;
int n;
int minBound = (k / 8) * 15 - 4;
for (n = minBound;; n++)
{
if (calc(k, n))
{
break;
}
}
fout << n;
fin.close();
fout.close();
return 0;
}
`