ABC325EF 题解

D - Ulam-Warburton Automaton

想清楚了其实很简单，但有些细节处理上的问题，赛时容易搞不明白。

下文用 \(n\) 和 \(m\) 表示题目中的 \(H\) 和 \(W\)，且两者视为同级。

最暴力的想法是，每轮更新时暴力枚举所有的节点，判断它在这一轮是否被涂黑。如果某一轮没有节点被涂黑，则结束程序。这样每轮的时间复杂度为 \(O(n^2)\)，而轮数容易构造到 \(O(n)\)（一开始只有一个角为黑色），所以总时间复杂度为 \(O(n^3)\)，无法通过。

称在第 \(k\) 轮被涂黑的点为\(k\) - 新增点。在第 \((k + 1)\) 轮更新时，只需判断与 \(k\) - 新增点相邻的点是否能被涂黑即可。这是显然的：在第 \((k + 1)\) 轮一个点从不能被涂黑变为能被涂黑，说明其相邻节点中恰有一个点在上一轮被涂黑，所以它必然与 \(k\) - 新增点相邻。

由于每个点最多被涂黑一次，而一个点被涂黑时只会检测相邻 \(4\) 个点能否被更新，所以每个点都只会被检测 \(O(1)\) 次，因此总时间复杂度为 \(O(n^2)\)，可以通过。

总结一下流程：

1. 初始化队列 \(f\) 和 \(g\) 为空。把初始就被涂黑的节点视为 \(0\) - 新增点，加入队列 \(f\) 中。
2. 把 \(f\) 中所有点涂黑。
3. 对 \(f\) 中每个点，检测与其相邻的点是否能涂黑。如果能，把此相邻的点加入 \(g\) 中。
4. 如果 \(g\) 为空，说明不存在新的被涂黑的点，结束程序。否则，令 \(f \gets g\) 并清空 \(g\)，回到第 2 步。

参考代码

E - Count Sequences 2

多重集排列数板子，典得不能再典的问题，这都能放来当比赛题的？

设 \(n = \sum C_i\)，通常使用的公式为

\[ans = \dfrac{n!}{\prod_{i = 1}^{N} C_{i}!} \]

但是模数不是质数，不一定存在乘法逆元，所以不能使用带除法的式子。使用另一个公式就好了：

\[ans = \dbinom{n}{C_1}\dbinom{n - C_1}{C_2} \cdots \dbinom{n - C_1 - C_2 - \cdots - C_{N - 1}}{C_N} \]

用杨辉三角递推式可以在 \(O(n^2)\) 时间内预处理组合数，且不需要除法，于是就做完了。

参考代码

（但是赛时忘了第二个公式，想了半天）

F - Inserting Process

看到 \(N\) 很小，容易想到把每个子序列设为一个状态，这样状态数为 \(2^{N}\)。正着加字符是困难的，因为我们难以快速判定，一个子序列插入一个字符得到的字符串是不是原串的子序列。套路性地倒着考虑，即研究有多少种方法可以把原串删为空串。

一个简单的想法是：用下标序列 \((1, 2, \cdots, n)\) 的子序列 \((p_1, p_2, \cdots, p_m)\) 表示子序列 \(t = s_{p_1}s_{p_2}\cdots s_{p_m}\)，枚举删去的字符来转移。问题在于：一个字符串删去不同位置的字符，可能得到相同的字符串，例如 \(\tt{aab}\) 删去第一个字符或第二个字符得到的字符串都是 \(\tt{ab}\)，这样就算多了。

于是我们要解决的问题是：如何使子序列的表示方式唯一？例如对于 \(s = \tt{aab}\)，我们希望子序列 \(t = \tt{ab}\) 只有一种表示方式。实际上，在转移的过程中，简单地加上一条限制即可：如果出现连续相同的字符，只能删除最右边的字符。那么，\(\tt{aab}\) 只能删除第二个字符得到 \(\tt{ab}\)，这样两个子序列之间的转移就唯一了，因而解决了算重的问题。

另外多说一句，我们确实给每个子序列找到了唯一的表示方式：如果一个子序列的表示方式不唯一，我们总是取字典序最小的那个。例如 \(\tt{ab}\) 在 \(\tt{aab}\) 中的表示方式有两个：\((1, 3)\) 和 \((2, 3)\)，而我们只会转移到字典序较小的 \((1, 3)\)。这不难感性理解，严谨证明可能需要使用一下数学归纳法，但我们最好不要陷入抽象的形式化语言中。

总结：对于有重复贡献的问题，考虑给每个对象确定一个唯一的表示方式。这种思想是相当常见的。

参考代码

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UPD on 10/4: 新增了 D 的题解。