高效判断素数

孪生素数： 所谓孪生素数指的是间隔为 2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了。

1. 若n≥6且n-1和n+1为孪生素数，那么n一定是6的倍数；
2. 若x≧1且n=6x-1=2(3x)-1或n=6x+1=2(3x)+1是合数,n一定不是2和3的倍数（质因子中不包含2、3）；
3. 当n≧5时，如果n为素数，那么n mod 6 = 1 或 n mod 6 = 5，即n一定出现在6x（x≥1）两侧；

<证明过程见最后>

当x≥1时，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1┈┈

不在6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，即2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，它们一定不是素数，所以素数一定出现在6x的两侧。

 

 

思路：首先5以下的直接处理；排除不在6x两侧的；

对于6x两侧的数怎么判断呢？

根据“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”，因此试探合数因子的时候直接用质数试探是最好的，也就是说不需要去一一用2除、用3除、用4除......，而是直接用质数整除，而质数必然是2、3以及在 6x两侧的数，因此我们只需要用6x两侧的数整除就行（6x两侧是数是一个大于素数集合的，因此肯定没问题）。而上面证明了即便6x两侧的数是合数，其质因子也一定不包含2、3，因此直接if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0)判断即可

高效判断一个大于1的数是否为素数：

 

 

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#include<stdio.h>
#include<math.h>
int is_prime(int num)
{
    int limit = 0, i = 0;
    if (num < 2)
    {
        return 0;
    }
 
    if (num == 2 || num == 3)
    {
        return 1;
    }
 
    if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5)  //把 num=4的情况处理了  这样1-5、以及不是6x两侧的全部处理
    {
        return 0;
    }
 
    limit = (int)sqrt(num);
    for (i = 5; i <= limit; i += 6)
    {
        if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0)
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}
 
 
 
     boolean isPrime(int num) {
            if (num < 2)
                  return false;
            if (num == 2 || num == 3) {
                  return true;
            }
            if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) {// 把 num=4的情况处理了 这样1-5、以及不是6x两侧的全部处理
                  return false;
            }
            int limit = (int) Math.sqrt(num) + 1;
            for (int i = 5; i < limit; i += 6) {
                  if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) {
                        return false;
                  }
            }
            return true;
      }
 

 

 

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证明过程：

孪生素数： 所谓孪生素数指的是间隔为 2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了。

 

若n≥6且n-1和n+1为孪生素数，那么n一定是6的倍数。

证明：

∵ n-1和n+1是素数 ┈┈┈┈┈ ①

∴ n-1和n+1是奇数

∴ n是偶数，即n是2的倍数 ┈┈┈┈┈ ②

假设n不是3的倍数，得：

n=3x+1 或 n=3x+2，

如果n=3x+1，则n-1=3x，与①违背，故n≠3x+1；

如果n=3x+2，则n+1=3(x+1)，与①违背，故n≠3x+2；

∴假设不成立，即n是3的倍数，又有②得结论：

n是6的倍数。

 

由上面的规律可以推出下面结论：

若x≧1且n=6x-1或n=6x+1不是素数，那么n一定不是2和3的倍数。

证明：

∵n=6x-1或n=6x+1，即n=2(3x)-1或n=2(3x)+1或n=3(2x)-1或n=3(2x)+1。

∴n一定不是2和3的倍数。

 

素数出现规律：

当n≧5时，如果n为素数，那么n mod 6 = 1 或 n mod 6 = 5，即n一定出现在6x（x≥1）两侧。

证明：

当x≥1时，有如下表示方法：

┈┈ 6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1┈┈

不在6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，即2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，它们一定不是素数，所以素数一定出现在6x的两侧。