复变函数

$z_0$的$\delta$邻域：

$$U(z_0,\delta )\triangleq \{z\mid |z-z_0|<\delta \}$$

如果存在$\delta >0$，使得$U(z_0,\delta )\subset S$，那么点$z_0$称为集合$S$的内点。显然$z_0\in S$。

如果存在$\delta >0$，使得$U(z_0,\delta )\bigcap S=\mathrm{\varnothing }$，那么称为外点。显然$z_0\notin S$。

如果既不是内点也不是外点，称为$S$的边界点。也就是边界点的所有邻域，至少包含一个$S$中的点，也至少包含一个不在$S$中的点。

边界点的全体，称为$S$的边界。

不包含任何边界点的集合称为开集，即每个点都是内点。

包含所有边界点的集合称为闭集。

$S$的闭包是由$S$中的所有点以及$S$的边界构成的闭集。

$0<|z|\le 1$既不是开集，也不是闭集。因为这个集合的边界是$z=0\bigcup |z|=1$。

注意，开集，闭集不是互斥的。比如全体复数构成的集合，既是开集，也是闭集，因为它没有边界点。

如果一个开集$S$中的任何两点$z_1,z_2$可以用全在此集合的、由有限条线段首尾顺次连接组成的折线相连，则称$S$是连通的。

连通的开集称为区域（domain）。

如果$S$中的每一点都在某个圆$|z|=R$内，称为是有界的，否则是无界的。

如果点$z_0$的任意去心邻域与$S$的交集非空，则称$z_0$为$S$的聚点。

集合是闭的充要条件是包含它的所有聚点。

解析函数

Cauchy–Riemann方程

如果$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$z_0$处可导，从实轴趋近于$z_0$, 得：

$$f^{\prime }(z_0)=u_x(x_0,y_0)+i{v}_x(x_0,y_0)$$

从虚轴趋近$z_0$，得：

$$f^{\prime }(z_0)=v_y(x_0,y_0)-i{u}_y(x_0,y_0)$$

其中下标表示求偏导。由此可得关系：

$$\begin{array}{rl}{u}_x& =v_y\\ u_y& =-v_x\end{array}$$

这是导数存在的必要条件。

如果这些偏导还在$(x_0,y_0)$处连续，那么$f^{\prime }(z_0)$存在。

用极坐标表达以上条件是：

$$r{u}_r=v_{\theta }{u}_{\theta }=-r{v}_r$$

且

$$f^{\prime }(z)=e^{-i\theta }(u_r+i{v}_r)$$

解析函数

如果存在$z_0$的某个邻域，使得函数$f$在邻域内每点都可导，则称在$z_0$解析。

如果函数$f$在开集$S$中每一点都解析，则称为在这个开集上是解析的。

在复平面处处解析的称为整（entire）函数。

如果$f$在$z_0$不解析，但是在$z_0$的每个邻域都在某点解析，则$z_0$称为奇点。

初等函数

对数函数

对于$z\ne 0$，定义对数：

$$\log z=w满足e^w=z$$

$z$写成$z=r{e}^{i\mathrm{\Theta }}$，其中$-\pi <\mathrm{\Theta }\le \pi$是辐角主值。得到

$$\log z=\ln r+i(\mathrm{\Theta }+2n\pi )(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$

因此，这是多值函数。

上式可以写成

$$\log z=\ln r+i\theta$$

如果限制使得$\alpha <\theta <\alpha +2\pi$，那么如下函数在给定的定义域上是单值且连续的：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \log z=\ln r+i\theta (r>0,\alpha <\theta <\alpha +2\pi )\end{array}$$

注意，上述角度范围不能取等号。如果取了等号，定义域就包含$\theta =\alpha$这条射线。对于射线上的$z$，有的点趋于$z$时$\theta$趋于$\alpha$，有的趋于$\alpha +2\pi$，那么$z$处极限不存在，因而不连续。

$\text{(1)}$是对数函数的一个分支，如下是主值支：

$$\mathrm{Log}z=\ln r+i\mathrm{\Theta }(r>0,-\pi <\mathrm{\Theta }<\pi )$$

幂函数

$$z^c\triangleq e^{c\log z}(z\ne 0)$$

因此，幂函数一般也是多值函数。

三角函数

$$\begin{gathered} \sin z\triangleq \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2} \\ \cos z\triangleq \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \end{gathered}$$

积分

对于以实数$t$为参数的复数

$$w(t)=u(t)+iv(t)$$

定义导数：

$$w^{\prime }(t)=u^{\prime }(t)+i{v}^{\prime }(t)$$

微分中值定理不成立。

定义积分：

$${\int }_a^{b}w(t)dt={\int }_a^{b}u(t)+i{\int }_a^{b}v(t)$$

积分中值定理不成立。

围道

弧由

$$\begin{array}{}\text{(2)}& z(t)=x(t)+iy(t)a\le t\le b\end{array}$$

描述。

如果弧不自交，称为简单曲线。$z(b)=z(a)$的简单弧称为简单闭合曲线。

光滑弧是指$z(t)$的实部和虚部对$t$的导数连续且$z^{\prime }(t)\ne 0$。

围道是由有限段光滑弧连接而成。

围道积分

围道$C$由$\text{(2)}$描述时，定义围道积分为：

$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_a^{b}f[z(t)]z^{\prime }(t)dt$$

给定$C$的起点$z_1$，终点$z_2$，如果积分与具体围道无关，则可写成：

$${\int }_{z_1}^{z_2}f(z)dz$$

原函数

设$f(z)$在区域$D$上连续，则下列结论是等价的：

1. $f(z)$在$D$中存在原函数$F(z)$
2. $f(z)$沿所有连接$z_1$和$z_2$且完全在$D$内的围道的积分值都一样
3. $f(z)$沿所有完全在$D$内的闭围道的积分值都为0.

其中2,3等价很显然。

注意，不能用这个来证明

$${\int }_C\frac{dz}{z}=0$$

其中$C$是正向圆周$z=e^{i\theta }(-\pi \le \theta \le \pi )$。因为$\log z$的任一分支在支割线$\theta =\alpha$无定义，而这条射线与圆周有交点，也就是不存在包含圆周的区域$D$，使得在整个$D$上$F^{\prime }(z)=1/z$。

柯西-古萨定理

如果函数$f$在简单闭围道$C$的内部和上面的点解析，那么

$${\int }_{C}f(z)dz=0$$