信号与系统

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau \end{array}$$

《信号与系统》的一大主题是求系统对输入信号的响应。系统可由如下微分方程描述：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \sum _{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}=\sum _{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}\end{array}$$

并给定初始条件：

$$y(t_0),\frac{dy(t_0)}{dt},\dots ,\frac{d^{N-1}y(t_0)}{d{t}^{N-1}}$$

由于输入信号$x(t)$多种多样，求微分方程的特解可能比较困难。

系统性质

因果性

因果系统的输出只取决于现在和过去的输入。为了满足这一点，由$\text{(1)}$

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau +{\int }_t^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

第二项须为零，得：

$$h(t)=0,t<0$$

即因果系统的冲激响应是右边信号。

如果对于$t<t_0$有$x(t)=0$，由

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

得$t<t_0$时$y(t)=0$。这就是initial rest条件。

因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面。

稳定性

如果系统对于每一个有界的输入，其输出都是有界的，就称系统是稳定的。

稳定的充要条件是冲激响应绝对可积：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h(\tau )|d\tau <\mathrm{\infty }$$

充分性容易证明：设$|x(t)|<B$，

$$\begin{array}{rl}|y(t)|& =|{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(\tau )x(t-\tau )d\tau |\\ & \le {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h(\tau )||x(t-\tau )|d\tau \\ & \le B{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h(\tau )|d\tau \end{array}$$

因此${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h(\tau )|d\tau <\mathrm{\infty }⟹|y(t)|<\mathrm{\infty }$

必要性考虑一个特殊信号。

那么冲激响应的傅里叶变换收敛，因此：

当且仅当$H(s)$的收敛域包含虚轴时，系统是稳定的。

拉普拉斯变换

为什么要有这个东西？首先是从求解系统响应的角度。

一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，对应的常数称为特征值。

将$x(t)=e^{st}$代入$\text{(1)}$，得输出：

$$y(t)=H(s)e^{st}$$

其中

$$H(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(t)e^{-st}dt$$

$H(s)$称为系统的系统函数或转移函数。

如果对于一个信号$x(t)$，定义它的拉普拉斯变换为：

$$X(s)\triangleq {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)e^{-st}dt$$

那么系统函数就是冲激响应的拉普拉斯变换。

上面的定义由于积分限从负无穷到正无穷，称为双边拉普拉斯变换。

将输入分解为：

$$x(t)=\sum _k{a}_k{e}^{s_{k}t}$$

那么由叠加性，输出为：

$$y(t)=\sum _k{a}_{k}H(s_k)e^{s_{k}t}$$

对$\text{(1)}$两边做拉氏变换，应用卷积性质，得：

$$Y(s)=H(s)X(s)$$

对$\text{(2)}$做拉氏变换，应用微分性质，得：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k{s}^{k}Y(s)=\sum _{k=0}^M{b}_k{s}^{k}X(s)$$

则：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\sum _{k=0}^M{b}_k{s}^k}{\sum _{k=0}^N{a}_k{s}^k}$$

$H(j\omega )$称为系统的频率响应。

来自为知笔记(Wiz)