[ABC398G] Not Only Tree Game

没有人类了，这个题是怎么做到 20 min 场切的？？？。

题意

两个人在无向图上加边，要保证新加的边不会形成奇环，谁加不了谁输了，求先手还是后手赢。

sol

当 \(n\) 为奇数的时候，最终的二分图一定只会有偶数条边，判个 \(m\) 的奇偶就做完了。

现在要判的就是 \(n\) 为偶数的情况了。

先定义一下：

\(ee\) 为两边都是偶数的二分图的数量。
\(eo\) 为一边是偶数一边是奇数的二分图的数量。
\(oo\) 为两边都是奇数的二分图的数量。
\(iso\) 为没人理的孤点的数量。
\(x\) 表示所有连通块当前还能加入的边数。

显然在 \(x=iso=0\) 的时候就是必败状态，所以我们要尽量丢给对手 \(iso/2+x\) 为偶数的情况。

下面就是大坨关于 \(n\) 为偶数的各种分类讨论了。

没有 \(eo\) 的情况

那么现在我们 \(iso\) 的数量必定是偶数。

当前我们有如下的几种操作可以做：

连一条联通块的边，这个必定会使 \(iso/2+x\) 的奇偶性改变。

把两个孤点连起来，这个也必定会使 \(iso/2+x\) 的奇偶性改变。

把一个孤点给加入到 \(ee\) 或者 \(oo\) 里，但这样一定不优。

因为如果我这样干的话就会出现 \(eo\) 的情况，并且现在奇偶性完全是对面决定的了，对手可以选择再把一个 \(iso\) 加到 \(e\) 那边变换奇偶性，也可以选择加到 \(o\) 那边不变奇偶性，这就导致我一定会拿到 \(iso/2+x\) 为偶数的情况。

最后的情况是合并两个连通块，手玩一下发现怎么做都会影响图的奇偶性。

所以这种情况就是 \(iso/2+x\) 为奇数先手必胜，反之为偶数。

\(eo=1\) 的情况。

\(iso\) 必定是奇数。

你发现你可以随便给 \(eo\) 一个 \(iso\) 就可以转化成上面的情况，所以先手必胜。

\(eo=2\) 的情况。

跟上面一样，你直接合并这两个 \(eo\) 也是可以操作 \(iso/2+x\) 的奇偶性的，先手必胜。

\(eo>2\)

双方肯定不会把 \(eo\) 给合并到 \(\leq 2\)，因为这样相当于送别人赢了。

所以肯定会合成成 \(eo=3\) 然后只有这个能操作，这就相当于转化成了 \(n\) 为奇数的情况，又是判奇偶性了。

模拟就行了。