微分几何入门

一. 拓扑

1.1 集论

空集、子集、交、并、差、补
笛卡尔积
映射：\(f:X\to Y\)，像、原像（逆像，可以是一个集合）、值域、单射、满射

1.2 拓扑空间

我们想要对从 \(\mathbb{R}\) 上，对任意集合推广出“连续”“光滑”等等一元函数上的性质。这首先要求我们定义集合上的连续。仿照一元函数用开区间定义连续，我们尝试规定集合上的开子集。

拓扑：对于集合 \(X\)，其拓扑是所有开子集的集合。记拓扑 \(\mathscr{T}\) 是元素为 \(X\) 子集的集合，满足：

1. \(\emptyset, X \in \mathscr{T}\)；
2. 有限个开子集的交 \(\in \mathscr{T}\)；
3. 任意个开子集的并 \(\in \mathscr{T}\)。

而开子集之所以为开子集，是因为它在拓扑中。这也意味着通过某种方式规定的开子集同样需要满足以上条件。对于同一集合存在有很多方式来规定其拓扑，比如：

• 凝聚拓扑 \(\mathscr{T} = \{ \emptyset, X\}\)；
• 离散拓扑 \(\mathscr{T}= \{X\ 的全体子集\}\)；
• 对于 \(\mathbb{R}^n\)，其通常拓扑 \(\mathscr{T}_u = \{空集或能表示为若干开球的并的子集\}\)，一般采用这种方式，显然符合定义。

拓扑空间 \((X, \mathscr{T})\) 同时规定了集合和其拓扑方式。

对于笛卡尔积，有乘积拓扑 \((X = X_1\times X_2, \mathscr{T} = \{O\in X | O = O_1\cup O_2, O_1\in \mathscr{T}_1, O_2 \in \mathscr{T2}\})\)。对于由通常拓扑定义的 \(\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2\)，可以证明乘积拓扑也为通常拓扑。

对于 \(A\subset X\)，定义其诱导拓扑 \(\mathscr{S} = \{V = O\cap A | O \in \mathscr{T}\}\)，这样可以在保留全集拓扑性质的同时，将 \(A\) 包含进了自己的拓扑中。\((A,\mathscr{S})\) 称为 \((X,\mathscr{T})\) 的拓扑子空间。

在有了开集的概念之后，我们可以着手定义连续了。

连续：对拓扑空间 \((X,\mathscr{T}),\ (Y,\mathscr{S})\) 和映射 \(f:X\to Y\)，称 \(f\) 为连续的当且仅当 \(\forall O\in \mathscr{S},\ f[O]^{-1}\in \mathscr{T}\)。

也即开集的原像仍为开集，与 \(\mathbb{R}\) 中类似。

同胚：拓扑空间 \((X,\mathscr{T}),\ (Y,\mathscr{S})\) 同胚当且仅当映射 \(f:X\to Y\) 为双射且 \(f\) 与 \(f^{-1}\) 均连续。

同胚的性质就非常好，这意味着两个空间不仅元素上意义对应，还具有相同的结构。可以把同胚理解成一种相等关系。

邻域：对于 \(A\subset X\)，其邻域 \(N\) 满足 \(A\subset O\subset N\)，其中 \(O\) 为开子集。

利用邻域可以很好地理解连续性。考虑 \(X\) 中一点 \(x\) 及其像 \(y=f(x)\)，则对于 \(y\) 的任一邻域，我们都应当能找到对应的 \(x\) 的邻域。对于任一邻域 \(N\)，我们令 \(N\to O\)，就得到了定义中的连续。

定理 1.2.1 对 \(A\subset X\)，\(A\) 是开集当且仅当 \(\forall x\in A,\ A 为 x 的邻域\)。

证明较为简单。

闭集：若 \(-C\) 为开集，\(C\) 为闭集。开集的补。

根据开集的性质可以得到闭集的性质：

1. \(\emptyset\) 和 \(X\) 为闭集，既开又闭
2. 任意闭集的交为闭集
3. 有限闭集的并为闭集

连通：拓扑空间 \((X,\mathscr{T})\) 连通当且仅当其中没有 \(\emptyset, X\) 以外的既开又闭的子集。

连通的定义很直观。对于两个无交的开集 \(A,B\)，可以考虑 \(A\cup B\) （直观来看就是不连通的）的诱导拓扑，容易发现 \(A,B\) 都是既开又闭的。

闭包：子集 \(A\) 的闭包 \(\overline{A}\) 为所有包含 \(A\) 的闭集的交。
内部：子集 \(A\) 的开集 \(i(A)\) 为所有 \(A\) 包含的开集的并。
边界：\(\dot{A} = \overline{A} - i(A)\)。
有界：对于 \(A\subset \mathbb{R}^n\)，若 \(\exists 开球\ B,\ A\subset B\)，则 \(A\) 有界。

边界为闭集。

开覆盖：开覆盖 \(O_{a} \subset \mathscr{T}\)，\(A\subset \cup_{O\in O_a}O\)。

1.3 紧致性

紧致：若 \(A\subset X\) 的任一开覆盖都有有限子覆盖，称 \(A\) 紧致。

紧致性可以看作有限性在集合中的推广。

Hausdorff 空间（ \(\mathrm{T}_2\) 空间）：若 \(\forall x,y\in X, \exists O_1,O_2 \in \mathscr{T}\) 使得 \(x\in O_1,y\in O_2, O_1\cap O_2 = \emptyset\)，则\((x,\mathscr{T})\) 为 Hausdorff 空间。

直观来看，Hausdorff 空间保证了空间中任意元素的邻域是分离的。这意味着我们可以按照元素划分这个拓扑。不难发现度量空间一定是 Hausdorff 空间。在物理中，可以认为所有拓扑空间都是 Hausdorff 空间。

我们将在 Hausdorff 空间中讨论紧致性和闭性的关系。
那么在非 Hausdorff 空间中会发生什么事情呢？以下证明用到了 Hausdorff 的性质，但是为什么我们需要这些性质，以及以下结论是否可以强化，有待思考。

定理 1.3.1 \(\mathbb{R}\) 中任意闭区间紧致，任意开区间或半开区间不紧致。

前半直观上显然。后半不妨设区间 \((0,1]\)，考虑开覆盖 \(\{(\frac{1}{n}, 2),\ n\in \mathbb{N}\}\)，不存在有限子覆盖。其余情况同理。

定理 1.3.2 Hausdorff 空间中，紧致集 \(A\subset X\) 为闭集。

只需证明 \(X-A\in \mathscr{T}\)。利用定理 1.2.1（邻域），即证 \(\forall x\in X-A\)，\(\exists O\in \mathscr{T},\ x\in O\subset X-A\)。对固定的 \(x\in X-A\)，考虑另一点 \(y\in A\)，总存在 \(x\in O_{y}\) 和 \(y\in G_y\) 满足 Hausdorff 性质。
取集合 \(\{O_{y}\}\) 和 \(\{G_y\}\)，由于 \(y\) 可取遍 \(A\) 中所有点，\(\{G_y\}\) 构成 \(A\) 的开覆盖，则由紧致性存在有限开覆盖 \(\{G_{a_n}\}\)。取 \({O_{y}}\) 中对应开集 \(O_{a_n}\)，记 \(O=\cap_{a_i}O_{a_i}\)，有 \(x\in O\in \mathscr{T}\)。接下来证明 \(O\cap A = \emptyset\)。若 \(\exists z \in A\)，则 \(z\) 存在于开覆盖中，这与 \(z\in O\) 矛盾。故 \(O\cap A=\emptyset\)，即 \(O\subset X-A\)，得证。

定理 1.3.3 若 \((X,\mathscr{T})\) 紧致，则闭集 \(A\subset X\) 紧致。
可知 \(X-A\) 为开集。考虑 \(A\) 的任意开覆盖 \(\{O_a\}\)，则 \(\{O_{a},X-A\}\) 构成 \(X\) 的开覆盖。由 \(X\) 紧致可知存在有限子覆盖 \(\{O_{a_n},X-A\}\)，则 \({O_{a_n}}\) 为 \(A\) 的有限子覆盖，故 \(A\) 紧致。

定理 1.3.4 \(A\in \mathbb{R}\) 紧致当且仅当 \(A\) 为有界闭集。

充分性：由定理 1.3.2，\(A\) 为闭集；\(\{(-n,n)\},\ n\in \mathbb{N}\) 是 \(A\) 的一组平凡开覆盖，则由紧致性存在有限子覆盖 \(\{(-m,m)\},\ m\leq m_0\)，则有界。
必要性：由有界性 \(\exists m\in \mathbb{R},\ A\subset [-m,m]\)。在通常拓扑下，由定理 1.3.1 可知 \(C=[-m,m]\subset \mathbb{R}\) 紧致。记 \(\mathscr{T}\) 为 \(\mathscr{T}_u\) 在子集 \(C\) 下的诱导拓扑，由诱导拓扑生成方式，可知 \(\mathscr{T}\) 中非平凡元素为 \([-m,m]\) 内开区间或半开区间，则任意开覆盖中必然包含 \([-m,m]\)，否则无法覆盖端点。故 \((C,\mathscr{T})\) 的任意开覆盖存在有限子覆盖，紧致。又 \(A\subset C\) 且 \(A\) 为闭集，由定理 1.3.3，\(A\) 紧致。

定理 1.3.5 若 \(A\subset X\) 紧致，\(f:X\to Y\) 连续，则 \(f[A]\subset Y\) 紧致。

设 \(\{O_{a}\}\) 为 \(f[A]\) 任意开覆盖，由 \(f\) 连续的定义可知 \(f^{-1}[O_a]\) 为开集，则 \(\{f^{-1}[O_a]\}\) 为 \(A\) 的一组开覆盖。由 \(A\) 紧致可知 \(\{f^{-1}[O_a]\}\) 存在有限子覆盖，映射后可知 \(\{O_a\}\) 存在有限子覆盖，故紧致。

我们将经过同胚映射后保持不变的性质称为拓扑性质或拓扑不变量。紧致性、连通性、\(\mathrm{T}_2\) 性都是拓扑不变量，而有界性不是。

定理 1.3.6 若 \(A\subset X\) 紧致，\(f:X\to \mathbb{R}\) 连续，则 \(f[X]\subset \mathbb{R}\) 有界且取得最值。

证明：结合定理 1.3.4 和定理 1.3.5 可得。

定理 1.3.7 若 \((X_1,\mathscr{T_1}),\ (X_2,\mathscr{T_2})\) 紧致，则笛卡尔积 \((X_1\times X_2,\mathscr{T})\) 紧致。
证明待补。可以考虑构造乘积拓扑中的有限子覆盖？

定理 1.3.8 \(A\in \mathbb{R}^n\) 紧致当且仅当 \(A\) 为有界闭集。

\(A\) 的元素的每一维 \(A^{(i)}\) 都是 \(\mathbb{R}\) 中元素，由笛卡尔积性质可知有界闭集笛卡尔积仍为有界闭集；由定理 1.3.7，紧致空间的笛卡尔积仍为紧致空间。故 \(\mathbb{R}^n\) 中情况可由定理 1.3.4 直接推广。

后面关于序列、极限、聚点、可数性的部分直接略过，可以参考空间中的柯西审敛准则相关内容。