[bzoj3944] sum [杜教筛模板]

题面：

传送门

就是让你求$ \varphi\left(i\right) $以及$ \mu\left(i\right) $的前缀和

思路：

就是杜教筛的模板

我们把套路公式拿出来：

$ g\left(1\right)S\left(n\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(g\ast f\right)\left(i\right)-\sum_{i=2}^{n}g\left(i\right)S\left(\frac ni\right) $

其中函数$f$分别为$\varphi$以及$\mu$

对于这两个函数有两个非常好用的卷积公式：

$\left(\mu\ast I\right)=\varepsilon$

$\left(\varphi\ast I\right)=id$

那么我们设g(x)=1，然后把g(x)带进去，两个前缀和就变成了这样的：

$S\left(n\right)=1-\sum_{i=2}^{n}S\left(\frac ni\right)$这个是$\mu$

$S\left(n\right)=\frac{n\ast\left(n+1\right)}{2}-\sum_{i=2}^{n}S\left(\frac ni\right)$这个是$\varphi$

然后递归，记忆化求和就可以了

 

注意最好写成一个递归处理两个答案......不然会T成狗

 

Code：

这里提供两个函数分开的版本，方便查看

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
ll phi[2000010],pri[2000010],tot=0,mu[2000010],n;bool vis[2000010];
void init(){
    ll i,j,k;phi[1]=mu[1]=1;phi[0]=0;
    for(i=2;i<=2000000;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++tot]=i;phi[i]=i-1;mu[i]=-1;
        }
        for(j=1;j<=tot;j++){
            k=i*pri[j];if(k>2000000) break;
            vis[k]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                phi[k]=phi[i]*pri[j];
                mu[k]=0;
                break;
            }
            phi[k]=phi[i]*phi[pri[j]];
            mu[k]=-mu[i];
        }
    }
    for(i=2;i<=2000000;i++) phi[i]=phi[i-1]+phi[i],mu[i]=mu[i-1]+mu[i];
}
ll sum1(ll x){return x*(x+1)/2;}
ll v1[1000010],v2[1000010],m1[1000010],m2[1000010];
ll S1(ll x){
    if(x<=2000000) return phi[x];
    ll re=sum1(x);ll i,j,t=n/x;
    if(v1[t]) return m1[t];
    for(i=2;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        re-=(j-i+1)*S1(x/i);
    }
    v1[t]=1;
    return m1[t]=re;
}
ll S2(ll x){
    if(x<=2000000) return mu[x];
    ll re=1,i,j,t=n/x;
    if(v2[t]) return m2[t];
    for(i=2;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        re-=(j-i+1)*S2(x/i);
    }
    v2[t]=1;
    return m2[t]=re;
}
int main(){
    ll T=read();init();
    while(T--){
        n=read();memset(v1,0,sizeof(v1));memset(v2,0,sizeof(v2));
        printf("%lld %lld\n",S1(n),S2(n));
    }
}