2024/12/26

「省选联考 2023」城市建造

考虑选出 \(t\) 个点，每个连通块选出恰好一个点。

注意到在同一个点双里的点要么同时被选出要么全部都不选。

建圆方树，选出一个方点就代表选出了所有其代表的点双上的所有圆点。

有一个性质：所有被选中的方点是连通的。否则一个连通块必定存在两个点被选出，不满足条件。

不妨以重心为根来计算，若重心为方点则它必被选出，若重心为圆点则至少有一个与其相连的方点被选出。否则一定会存在两个大小相差大于 \(2\) 的连通块。

因为这样的一个方点被选出了，所以还满足：若一个方点被选出，那么其祖先的所有方点都一定被选出。

考虑树形 dp，令 \(siz_u\) 表示以 \(u\) 为根的子树内圆点的数量，\(f_u\) 表示考虑到 \(u\) 时的方案数，\(v\) 为 \(u\) 的儿子。

\(k=0\)：

来枚举每个连通块的大小 \(S\)，满足 \(S\mid n\)，而且实际上 \(f_u\) 要么为 \(0\) 要么为 \(1\)。

若 \(u\) 为方点，那么 \(f_u=\prod f_v\)。

若 \(u\) 为圆点，那么需要满足 \(\sum[siz_v<S]siz_v+1=S\) 且 \(\prod_{siz_v\ge S}f_v=1\) 时 \(f_u\) 才能为 \(1\)。

\(k=1\)：

同样是枚举连通块大小 \(S\)，那么连通块大小只能为 \(S\) 或 \(S+1\)。

当 \(u\) 为方点时，\(f_u=\prod f_v\)。

当 \(u\) 为圆点时：

• 你知道，若 \(siz_v>S\) 则 \(siz_v\) 必定选上，\(siz_v<S\) 则 \(siz_v\) 不会被选上。
• 当 \(siz_v=S\) 时，若 \(f_v=0\) 则 \(v\) 必定不选。否则 \(v\) 可选可不选，且不选也要求其它 \(v\) 都被选上。
• 令 \(tot=\sum[siz_v<S]vis_v,cnt1=\sum[siz_v=S],cnt2=\sum[siz_v=S][f_v=0]\)
• 那么当 \(tot+1=S\) 或 \(tot+1=S+1\) 时，可以将 \(u\) 合到 \(tot\) 上，有方案数 \(\prod_{siz_v\ge S}f_v\)。
• 同时，若 \(tot=0,cnt2=1\)，仅保留一个 \(siz_v=S\)，方案数为 \(\prod_{siz_v>S}f_v\)。
• 否则，若 \(tot=0,cnt2=0\)，要保留一个 \(siz_v=S\)，方案数为 \(cnt1\times\prod_{siz_v>S}f_v\)。

QOJ9636 签到题

题目要求最大化 gcd，不妨让我们来枚举 gcd，假设当前枚举的 gcd 为 \(k\)。

我们根据 \(k\) 来重新建图，一个点 \(u\) 在图中那么 \(k\mid a_u\)，一条边 \(u\to v\) 在图中那么 \(k\mid \gcd(a_u,a_v)\)。

可以发现，每个点至多在 \(d(a_u)\) 张图中，也就是说我们把这些图全部拿出来的复杂度为 \(O(n\max(d(a_u)))\)，可以接受。

那么我们的目标就是在每个连通块中找到一个点 \(r\)，使得其它点到 \(r\) 的距离和最大。

树上

就是一个经典的换根 dp。

令 \(f_u\) 表示在 \(u\) 子树内所有节点到 \(u\) 的距离和，\(g_u\) 表示在 \(u\) 子树为所有节点到 \(u\) 的距离和。

有转移：

\[f_u=\sum f_v+siz_v,\ g_u=g_{fa_u}+N-siz_u \]

那么 \(u\) 节点的贡献就是 \(f_u+g_u\)。

基环树

非环上的节点计算方式同树上。

考虑环上节点，相当于断开一条边，可以证得断开的边一定是 \(r\) 所在子树在环上相邻的两条边之一。

仙人掌

仙人掌上每个环的处理方式与基环树相同，因为环上节点的贡献只与 \(r\) 在环上的哪一个子树有关。

可以在圆方树上 dp。