一类 dp 计数题

CF2125E Sets of Complementary Sums

考虑到集合 \(Q\) 没啥特殊性质，考虑对 \(a\) 计数。

首先发现重复元素存在的意义就是让 \(Q\) 内元素全体加该元素的值，那么我们将这个重复的元素替换成元素值个 1，就转化成了除了 1 以外其他数都只出现一次的情况。

我们再将 \(a\) 进一步简化，发现若 \(Q\) 的最小值为 \(c\)，那么让 \(a\) 全体减 \(c-1\) 再加上 \((n-1)(c-1)\) 个 1 即可，这样每个元素减少了 \(c-1\) 且 \(s\) 也减少了 \(c-1\)，那么 \(Q\) 不变，转化成了至少一个 1 和若干个其他不重复的元素。

那对这个序列计数会算错吗？首先肯定不会算漏，其次若存在两个 \(a\) 生成的 \(Q\) 相同，那么首先由于 \(\max Q=s-1\)，所以两者 \(s\) 相等，再因 \(Q\) 次大值为 \(s-a 的次小值\) 那么两者的次小值也相等（最小值必须是 1 所以必然相等），以此类推两者完全相同，所以不会算重。

对 \(a\) 计数就简单多了。由于 \(\max Q=s-1\le x\)，那么 \(s\le x+1\)，由于 \(a\) 没有重复元素（先钦定 1 只出现一次然后之后随便加就行），所以 \(a\) 的长度是 \(O(\sqrt x)\) 级别的。类似拆分数的，设 \(f_{i,j}\) 表示 \(len=i,s=j\)，转移可以先全体加 1 再添一个 1，也可以只全体加 1。为了钦定最小值是 1，我们可以保留最后一次全体加 1 再添 1 的步骤，用 dp 算前面的步骤就行。转移 \(f_{i,j}=f_{i-1,j-i}+f_{i,j-i}\)，答案是 \(\sum_{x'\le x+1-n} (x-x'-n+2)f_{n-1,x'}\)。

时间复杂度 \(O(x\sqrt x)\)。