原根

原根


$满足a^r \equiv 1 (mod  m)的最小r 表示a对模m的阶,记作\delta_{m}(a)$


$若\delta_{m}(a)=\varphi(m),则称a是模m的原根$


$若m有原根,则原根个数为\varphi(\varphi(m))$
证明:
首先生成元的概念见算到31.4
对于任意一个$(a,m)=1$, 如果a是m的原根, 那么 a 是整数模m乘法群(即加法群 $Z/mZ $的可逆元,也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群)$Zm^*$ 的一个生成元,考虑这$\varphi(m)$个数:$a^1,a^2,... a^{\varphi(m)}$,如果$a^p$为原根,那么就要求,他的某个乘方是$a^1$,这个时候$p$和$\varphi(m)$互质,
所以原根个数为$\varphi(\varphi(m)).$

posted @ 2017-09-27 10:01 DraZxlnDdt 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏