(noip模拟十七)【BZOJ3930】[CQOI2015]选数-容斥水法
Description
我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。
Input
输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。
Output
输出一个整数，为所求方案数。
Sample Input
2 2 2 4
Sample Output
3
HINT
1<=N,K<=10^9
1<=L<=R<=10^9
H-L<=10^5
题解：
听说这是正经的题解。。。
然而这个高端解法并没有用到题目中“H-L<=10^5”的条件，而利用这个条件，我们可以想出一个时间和代码复杂度都非常优秀的算(shui)法：（主要是因为我不会杜教筛）
先证明一个结论：选出的数的最大公约数肯定比选出的数中最大值和最小值的差小；
证明很容易，设最大公约数为$d$，最大值为$dk_1$，最小值为$dk_2$，那么$$max-min=dk_1-dk_2=d(k_1-k_2)>d$$
题目非常良心的给出$H-L\leq 10^5$，即$d<10^5$，因此就可以枚举$d$，然后容斥判重即可。
容斥：$f_i=sum-\sum\limits_{i|j}f_j$
注意$k$在区间$[L,H]$中时要判断选出的数全相同的情况！
代码实测4ms，写了杜教筛的学长跑了130多ms……
1 #include<algorithm>
2 #include<iostream>
3 #include<cstring>
4 #include<cstdio>
5 #include<cmath>
6 #define mod 1000000007
7 using namespace std;
8 typedef long long ll;
9 ll n,k,l,h,s,f[200001],ans=0;
10 ll fastpow(ll x,ll y){
11 ll ret=1;
12 for(;y;y>>=1,x=x*x%mod){
13 if(y&1)ret=ret*x%mod;
14 }
15 return ret;
16 }
17 int main(){
18 scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&h);
19 if(l<=k&&k<=h)ans++;
20 l=(l-1)/k;
21 h/=k;
22 s=h-l;
23 for(int i=s;i>=1;i--){
24 ll L=l/i,R=h/i,ss=R-L;
25 if(ss>0){
26 f[i]=(fastpow(ss,n)-ss+mod)%mod;
27 for(int j=i*2;j<=s;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
28 }
29 }
30 printf("%lld",f[1]+ans);
31 return 0;
32 }
