(noip模拟十七)【BZOJ3930】[CQOI2015]选数-容斥水法

Description

我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H。

Output

输出一个整数,为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

1<=N,K<=10^9

1<=L<=R<=10^9

H-L<=10^5

题解:

听说这是正经的题解。。。

然而这个高端解法并没有用到题目中“H-L<=10^5”的条件,而利用这个条件,我们可以想出一个时间和代码复杂度都非常优秀的算(shui)法:(主要是因为我不会杜教筛)

先证明一个结论:选出的数的最大公约数肯定比选出的数中最大值和最小值的差小;

证明很容易,设最大公约数为$d$,最大值为$dk_1$,最小值为$dk_2$,那么$$max-min=dk_1-dk_2=d(k_1-k_2)>d$$

题目非常良心的给出$H-L\leq 10^5$,即$d<10^5$,因此就可以枚举$d$,然后容斥判重即可。

容斥:$f_i=sum-\sum\limits_{i|j}f_j$

注意$k$在区间$[L,H]$中时要判断选出的数全相同的情况!

代码实测4ms,写了杜教筛的学长跑了130多ms……

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 #define mod 1000000007
 7 using namespace std;
 8 typedef long long ll;
 9 ll n,k,l,h,s,f[200001],ans=0;
10 ll fastpow(ll x,ll y){
11     ll ret=1;
12     for(;y;y>>=1,x=x*x%mod){
13         if(y&1)ret=ret*x%mod;
14     }
15     return ret;
16 }
17 int main(){
18     scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&h);
19     if(l<=k&&k<=h)ans++;
20     l=(l-1)/k;
21     h/=k;
22     s=h-l;
23     for(int i=s;i>=1;i--){
24         ll L=l/i,R=h/i,ss=R-L;
25         if(ss>0){
26             f[i]=(fastpow(ss,n)-ss+mod)%mod;
27             for(int j=i*2;j<=s;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
28         }
29     }
30     printf("%lld",f[1]+ans);
31     return 0;
32 }

 

posted @ 2018-08-01 16:33  DCDCBigBig  阅读(141)  评论(0编辑  收藏  举报