组合数学入门 Day1

参考教材是清华大学出版社《组合数学》第五版。

第一章 如何组CP 组合（C）与排列（P）

1.1 加法法则和乘法法则

⚠两类事件性质无关，否则考虑容斥原理。

1.2 一一对应法

⚠一一对应的证明不仅要说明事件 \(A\) 对应事件 \(B\) ，也要说明 \(B\) 对应 \(A\) 。

Cayley定理：\(n\) 个点的有编号无根树有 \(n^{n-2}\)​ 种。

证明方法就是用一一对应的思想，转化为一个 \(n-2\) 的数列，即 Prufer 数列。

Prufer 数列

树转数列

1. 选出编号最小的叶子节点。
2. 数列中加入与该叶子节点相连节点的编号。
3. 在树上删除该叶子节点。
4. 重复上述过程，直到树上只剩下两个节点。

数列转树

理解一下上述过程：

• 叶子节点肯定不在 Prufer 数列中。
• 找出的叶子节点是编号最小的。
• 删除一个叶子后，仍然保持树的结构，可以看成一个子问题。

所以可倒推出以下过程：

1. 在数列中取出最前面的元素 \(x\)。
2. 树点集中找到编号最小的且未在数列中出现的元素 \(y\)​。
3. 连边 \((x,y)\)​，然后分别删除 \(x,y\)。
4. 重复上述过程，直到点集中剩下两个节点， 直接连边。

常用性质

1. 点度=数列中该点编号出现次数。
2. 一棵 \(n\) 个点的无根树唯一对应一个长度为 \(n-2\)​ 的数列，数列内每个数 \(\in[1, n]\)。
3. Caylay 定理（见上）。
4. 由 3 可知，\(n\)​​ 个点的有编号有根树有 \(n^{n-2}\times n = n^{n-1}\)​​ 种。

1.3 排列与组合

排列：考虑顺序。组合：不考虑顺序。

\(P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}=n^{\underline m}\)​，其中 \(n^{\underline m}\)​​ 表示 \(n\) 的 \(m\) 阶下降幂，定义式等同于排列 \(P(n,m)\)​。

• \(n^{\underline n} = n!\)

\(C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n^{\underline m}}{m!}\)

一些技巧：打包法，隔板法，合法=全体-非法……

1.4 圆周排列

\(Q(n,m)=\frac{P(n,m)}{m}\)​

1.5 排列的生成算法

序数法

由 \(n!-1=\sum_{k=1}^{n-1}k\cdot k!\)​，可得 \([0, n!)\) 以内的整数 \(m\)​ 可以唯一地表示为

\[m=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}k!,0\le a_k\le k \]

简单尝试一下，发现这很类似进制转换。（震惊）

所以 \([0, n!)\)​ 以内的整数与序数 \((a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_2,a_1)\)​ 一一对应。

从 \(m\)​​​ 求序数也可以用类似进制转换的思路：

\[m_i = \begin{cases} m, & i = 1 \\ \left \lfloor\frac{m_{i-1}}{i} \right \rfloor, & i > 1 \end{cases} \]

\[a_i\equiv \left \lfloor\frac{m_{i}}{i + 1} \right \rfloor \pmod{i} \]

所以一个 \(n\)​ 个元素（不妨令 \(i\) 为 \(1,2,\cdots, n\) ）的全排列可以与序数 \((a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_2,a_1)\)​​ 一一对应。

对应规则为：\(a_i\) 表示排列中元素 \(i+1\) 右（左）侧比 \(i+1\) 小的数的个数。如序数 \((3,1,1)\) 对应排列 \(4,2,3,1\) 。

字典序法

C++ STL中的 next_permutation 。

换位法（感觉没啥用）

To be continued...