二叉树的递归
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1 二叉树的递归套路
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1、 可以解决面试中的绝大部分二叉树(95%以上)的问题，尤其是树形dp问题
2、 其本质是利用递归遍历二叉树的便利性，每个节点在递归的过程中可以回到该节点3次
具体步骤为：
- 假设以X节点为头，假设可以向X左树和右树要任何信息
- 在上一步的假设下，讨论以X为头结点的树，得到答案的可能性（最重要），常见分类是与X无关的答案，与X有关的答案
- 列出所有可能性后，确定到底需要向左树和右树要什么样的信息
- 把左树信息和右树信息求全集，就是任何一颗子树都需要返回的信息S
- 递归函数都返回S，每颗子树都这么要求
- 写代码，在代码中考虑如何把左树信息和右树信息整合出整棵树的信息
1.1 二叉树的递归套路深度实践
1.1.1 例一：判断二叉树平衡与否
给定一棵二叉树的头结点head，返回这颗二叉树是不是平衡二叉树
平衡树概念：在一棵二叉树中，每一个子树，左树的高度和右树的高度差不超过1
那么如果以X为头的这颗树，要做到平衡，那么X的左树要是平衡的，右树也是平衡的，且X的左树高度和右树高度差不超过1
所以该题，我们X需要向左右子树要的信息为，1.高度 2. 是否平衡
package class08;
public class Code01_IsBalanced {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
public static boolean isBalanced1(Node head) {
boolean[] ans = new boolean[1];
ans[0] = true;
process1(head, ans);
return ans[0];
}
public static int process1(Node head, boolean[] ans) {
if (!ans[0] || head == null) {
return -1;
}
int leftHeight = process1(head.left, ans);
int rightHeight = process1(head.right, ans);
if (Math.abs(leftHeight - rightHeight) > 1) {
ans[0] = false;
}
return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}
public static boolean isBalanced2(Node head) {
return process2(head).isBalaced;
}
// 左、右要求一样，Info 表示信息返回的结构体
public static class Info {
// 是否平衡
public boolean isBalaced;
// 高度多少
public int height;
public Info(boolean b, int h) {
isBalaced = b;
height = h;
}
}
// 递归调用，X自身也要返回信息Info。
// 解决X节点(当前节点)怎么返回Info信息
public static Info process2(Node X) {
// base case
if (X == null) {
return new Info(true, 0);
}
// 得到左树信息
Info leftInfo = process2(X.left);
// 得到右树信息
Info rightInfo = process2(X.right);
// 高度等于左右最大高度，加上当前头结点的高度1
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
boolean isBalanced = true;
// 左树不平衡或者右树不平衡，或者左右两子树高度差超过1
// 那么当前节点为头的树，不平衡
if (!leftInfo.isBalaced || !rightInfo.isBalaced || Math.abs(leftInfo.height - rightInfo.height) > 1) {
isBalanced = false;
}
// 加工出当前节点的信息返回
return new Info(isBalanced, height);
}
// for test
public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) {
return generate(1, maxLevel, maxValue);
}
// for test
public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) {
if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) {
return null;
}
Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
return head;
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 5;
int maxValue = 100;
int testTimes = 1000000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
if (isBalanced1(head) != isBalanced2(head)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
1.1.2 例二：返回二叉树任意两个节点最大值
给定一棵二叉树的头结点head，任何两个节点之间都存在距离，返回整棵二叉树的最大距离
1、有可能最大距离和当前节点X无关，即最大距离是X左树的最大距离，或者右树的最大距离
2、最大距离跟X有关，即最大距离通过X。左树离X最远的点，到X右树上离X最远的点。即X左树的高度加上X自身高度1，加上X右树上的高度
结论：那么根据递归套路，我们每次递归，需要返回X左树的最大距离和高度，同理返回X右树的最大距离和高度。Info包含最大距离和高度
package class08;
import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
public class Code08_MaxDistance {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
public static int maxDistance1(Node head) {
if (head == null) {
return 0;
}
ArrayList<Node> arr = getPrelist(head);
HashMap<Node, Node> parentMap = getParentMap(head);
int max = 0;
for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {
for (int j = i; j < arr.size(); j++) {
max = Math.max(max, distance(parentMap, arr.get(i), arr.get(j)));
}
}
return max;
}
public static ArrayList<Node> getPrelist(Node head) {
ArrayList<Node> arr = new ArrayList<>();
fillPrelist(head, arr);
return arr;
}
public static void fillPrelist(Node head, ArrayList<Node> arr) {
if (head == null) {
return;
}
arr.add(head);
fillPrelist(head.left, arr);
fillPrelist(head.right, arr);
}
public static HashMap<Node, Node> getParentMap(Node head) {
HashMap<Node, Node> map = new HashMap<>();
map.put(head, null);
fillParentMap(head, map);
return map;
}
public static void fillParentMap(Node head, HashMap<Node, Node> parentMap) {
if (head.left != null) {
parentMap.put(head.left, head);
fillParentMap(head.left, parentMap);
}
if (head.right != null) {
parentMap.put(head.right, head);
fillParentMap(head.right, parentMap);
}
}
public static int distance(HashMap<Node, Node> parentMap, Node o1, Node o2) {
HashSet<Node> o1Set = new HashSet<>();
Node cur = o1;
o1Set.add(cur);
while (parentMap.get(cur) != null) {
cur = parentMap.get(cur);
o1Set.add(cur);
}
cur = o2;
while (!o1Set.contains(cur)) {
cur = parentMap.get(cur);
}
Node lowestAncestor = cur;
cur = o1;
int distance1 = 1;
while (cur != lowestAncestor) {
cur = parentMap.get(cur);
distance1++;
}
cur = o2;
int distance2 = 1;
while (cur != lowestAncestor) {
cur = parentMap.get(cur);
distance2++;
}
return distance1 + distance2 - 1;
}
public static int maxDistance2(Node head) {
return process(head).maxDistance;
}
// 我们的信息，整棵树的最大距离和整棵树的高度
public static class Info {
public int maxDistance;
public int height;
public Info(int dis, int h) {
maxDistance = dis;
height = h;
}
}
// 以X节点为头
public static Info process(Node X) {
// base case
if (X == null) {
return new Info(0, 0);
}
// 默认从左树拿到我们需要的info
Info leftInfo = process(X.left);
// 默认从右树拿到我们需要的info
Info rightInfo = process(X.right);
// 用左右树的信息，加工自身的info
// 自身的高度是，左右较大的高度加上自身节点高度1
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
// 自身最大距离，是左右树最大距离和左右树高度相加再加1，求最大值
int maxDistance = Math.max(
Math.max(leftInfo.maxDistance, rightInfo.maxDistance),
leftInfo.height + rightInfo.height + 1);
// 自身的info返回
return new Info(maxDistance, height);
}
// for test
public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) {
return generate(1, maxLevel, maxValue);
}
// for test
public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) {
if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) {
return null;
}
Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
return head;
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 4;
int maxValue = 100;
int testTimes = 1000000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
if (maxDistance1(head) != maxDistance2(head)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
1.1.3 例三：返回二叉树中的最大二叉搜索树Size
给定个一颗二叉树的头结点head，返回这颗二叉树中最大的二叉搜索树的Size
搜索二叉树概念：整颗树上没有重复值，左树的值都比我小，右树的值都比我大。每颗子树都如此。
递归套路。1、与当前节点X无关，即最终找到的搜索二叉树，不以X为头
2、与X有关，那么X的左树整体是搜索二叉树，右树同理，且左树的最大值小于X,右树的最小值大于X
package class08;
import java.util.ArrayList;
public class Code04_MaxSubBSTSize {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
public static int getBSTSize(Node head) {
if (head == null) {
return 0;
}
ArrayList<Node> arr = new ArrayList<>();
in(head, arr);
for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {
if (arr.get(i).value <= arr.get(i - 1).value) {
return 0;
}
}
return arr.size();
}
public static void in(Node head, ArrayList<Node> arr) {
if (head == null) {
return;
}
in(head.left, arr);
arr.add(head);
in(head.right, arr);
}
public static int maxSubBSTSize1(Node head) {
if (head == null) {
return 0;
}
int h = getBSTSize(head);
if (h != 0) {
return h;
}
return Math.max(maxSubBSTSize1(head.left), maxSubBSTSize1(head.right));
}
public static int maxSubBSTSize2(Node head) {
if (head == null) {
return 0;
}
return process(head).maxSubBSTSize;
}
// public static Info process(Node head) {
// if (head == null) {
// return null;
// }
// Info leftInfo = process(head.left);
// Info rightInfo = process(head.right);
// int min = head.value;
// int max = head.value;
// int maxSubBSTSize = 0;
// if (leftInfo != null) {
// min = Math.min(min, leftInfo.min);
// max = Math.max(max, leftInfo.max);
// maxSubBSTSize = Math.max(maxSubBSTSize, leftInfo.maxSubBSTSize);
// }
// if (rightInfo != null) {
// min = Math.min(min, rightInfo.min);
// max = Math.max(max, rightInfo.max);
// maxSubBSTSize = Math.max(maxSubBSTSize, rightInfo.maxSubBSTSize);
// }
// boolean isBST = false;
// if ((leftInfo == null ? true : (leftInfo.isAllBST && leftInfo.max < head.value))
// && (rightInfo == null ? true : (rightInfo.isAllBST && rightInfo.min > head.value))) {
// isBST = true;
// maxSubBSTSize = (leftInfo == null ? 0 : leftInfo.maxSubBSTSize)
// + (rightInfo == null ? 0 : rightInfo.maxSubBSTSize) + 1;
// }
// return new Info(isBST, maxSubBSTSize, min, max);
// }
// 任何子树,都返回4个信息
public static class Info {
// 整体是否是二叉搜索树
public boolean isAllBST;
// 最大的满足二叉搜索树树条件的size
public int maxSubBSTSize;
// 整棵树的最小值
public int min;
// 整棵树的最大值
public int max;
public Info(boolean is, int size, int mi, int ma) {
isAllBST = is;
maxSubBSTSize = size;
min = mi;
max = ma;
}
}
// 以X为头
public static Info process(Node X) {
// base case
if(X == null) {
return null;
}
// 默认左树可以给我info信息
Info leftInfo = process(X.left);
// 默认右树可以给我info信息
Info rightInfo = process(X.right);
// 通过左右树给我的信息，加工我自己的info
int min = X.value;
int max = X.value;
// 左树不为空，加工min和max
if(leftInfo != null) {
min = Math.min(min, leftInfo.min);
max = Math.max(max, leftInfo.max);
}
// 右树不为空，加工min和max
if(rightInfo != null) {
min = Math.min(min, rightInfo.min);
max = Math.max(max, rightInfo.max);
}
// 可能性1与X无关的情况
int maxSubBSTSize = 0;
if(leftInfo != null) {
maxSubBSTSize = leftInfo.maxSubBSTSize;
}
if(rightInfo !=null) {
maxSubBSTSize = Math.max(maxSubBSTSize, rightInfo.maxSubBSTSize);
}
// 可能性2，与X有关
boolean isAllBST = false;
if(
// 左树和人右树整体需要是搜索二叉树
( leftInfo == null ? true : leftInfo.isAllBST )
&&
( rightInfo == null ? true : rightInfo.isAllBST )
&&
// 左树最大值<X，右树最小值>X
(leftInfo == null ? true : leftInfo.max < X.value)
&&
(rightInfo == null ? true : rightInfo.min > X.value)
) {
maxSubBSTSize =
(leftInfo == null ? 0 : leftInfo.maxSubBSTSize)
+
(rightInfo == null ? 0 : rightInfo.maxSubBSTSize)
+
1;
isAllBST = true;
}
return new Info(isAllBST, maxSubBSTSize, min, max);
}
// for test
public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) {
return generate(1, maxLevel, maxValue);
}
// for test
public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) {
if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) {
return null;
}
Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
return head;
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 4;
int maxValue = 100;
int testTimes = 1000000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
if (maxSubBSTSize1(head) != maxSubBSTSize2(head)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
1.1.4 例四：派对最大快乐值
排队最大快乐值问题，员工信息定义如下，多叉树结构：
class Employee{
// 这名员工可以带来的快乐值
public int happy;
// 这名员工有哪些直接的下级
List<Employee> subordinates;
}
每个员工都符合Employee类的描述，整个公司的人员结构可以看作是一颗标准的，没有环的多叉树。树的头结点是公司唯一的老板。除了老板外的每个员工都有唯一的直接上级。叶节点是没有任何下属的基层员工（subordinates为空），除了基层员工股外，每个员工都有一个或多个直接下级。
现在公司要来办party，你可以决定哪些员工来，哪些员工不来，规则:
1、 如果某个员工来了，那么这个员工的所有直接下级都不能来
2、 排队的整体快乐值是所有到场员工的快乐值的累加
3、 你的目标是让排队的整体快乐值尽量的大
给定一颗多叉树头结点boss，请返回排队的最大快乐值
思路：根据X来与不来分类
如果X来，我们能获得X的快乐值X.happy。X的直接子不能来，但我们能拿到X某个子树整棵树的的最大快乐值
如果X不来，不发请柬，我们能获得X的快乐值为0，X直接子树头结点来或者不来求最大值...
package class08;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Code09_MaxHappy {
// 员工对应的多叉树节点结构
public static class Employee {
public int happy;
public List<Employee> nexts;
public Employee(int h) {
happy = h;
nexts = new ArrayList<>();
}
}
public static int maxHappy1(Employee boss) {
if (boss == null) {
return 0;
}
return process1(boss, false);
}
public static int process1(Employee cur, boolean up) {
if (up) {
int ans = 0;
for (Employee next : cur.nexts) {
ans += process1(next, false);
}
return ans;
} else {
int p1 = cur.happy;
int p2 = 0;
for (Employee next : cur.nexts) {
p1 += process1(next, true);
p2 += process1(next, false);
}
return Math.max(p1, p2);
}
}
public static int maxHappy2(Employee boss) {
if (boss == null) {
return 0;
}
Info all = process2(boss);
return Math.max(all.yes, all.no);
}
// 递归信息
public static class Info {
// 头结点在来的情况下整棵树的最大值
public int yes;
// 头结点在不来的情况下整棵树的最大值
public int no;
public Info(int y, int n) {
yes = y;
no = n;
}
}
public static Info process2(Employee x) {
// base case 基层员工
if (x.nexts.isEmpty()) {
return new Info(x.happy, 0);
}
// 当前X来的初始值
int yes = x.happy;
// 当前X不来的初始值
int no = 0;
// 每棵子树调用递归信息
for (Employee next : x.nexts) {
Info nextInfo = process2(next);
// 根据子树的递归返回的信息，加工自身的info
// 如果X来，子不来
yes += nextInfo.no;
// 如果X不来，子不确定来不来
no += Math.max(nextInfo.yes, nextInfo.no);
}
return new Info(yes, no);
}
// for test
public static Employee genarateBoss(int maxLevel, int maxNexts, int maxHappy) {
if (Math.random() < 0.02) {
return null;
}
Employee boss = new Employee((int) (Math.random() * (maxHappy + 1)));
genarateNexts(boss, 1, maxLevel, maxNexts, maxHappy);
return boss;
}
// for test
public static void genarateNexts(Employee e, int level, int maxLevel, int maxNexts, int maxHappy) {
if (level > maxLevel) {
return;
}
int nextsSize = (int) (Math.random() * (maxNexts + 1));
for (int i = 0; i < nextsSize; i++) {
Employee next = new Employee((int) (Math.random() * (maxHappy + 1)));
e.nexts.add(next);
genarateNexts(next, level + 1, maxLevel, maxNexts, maxHappy);
}
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 4;
int maxNexts = 7;
int maxHappy = 100;
int testTimes = 100000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Employee boss = genarateBoss(maxLevel, maxNexts, maxHappy);
if (maxHappy1(boss) != maxHappy2(boss)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
1.1.5 例五：判断二叉树是否是满二叉树
给定一棵二叉树的头结点head，返回这颗二叉树是不是满二叉树。
思路：满二叉树一定满足2^L - 1 == N，其中L是这颗二叉树的高度，N是这颗二叉树的节点个数
package class08;
public class Code02_IsFull {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
public static boolean isFull1(Node head) {
if (head == null) {
return true;
}
int height = h(head);
int nodes = n(head);
return (1 << height) - 1 == nodes;
}
public static int h(Node head) {
if (head == null) {
return 0;
}
return Math.max(h(head.left), h(head.right)) + 1;
}
public static int n(Node head) {
if (head == null) {
return 0;
}
return n(head.left) + n(head.right) + 1;
}
public static boolean isFull2(Node head) {
if (head == null) {
return true;
}
// 如果满足公式是满二叉树
Info all = process(head);
return (1 << all.height) - 1 == all.nodes;
}
// 信息
public static class Info {
public int height;
public int nodes;
public Info(int h, int n) {
height = h;
nodes = n;
}
}
// 递归套路
public static Info process(Node head) {
if (head == null) {
return new Info(0, 0);
}
Info leftInfo = process(head.left);
Info rightInfo = process(head.right);
// 高度
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
// 节点数
int nodes = leftInfo.nodes + rightInfo.nodes + 1;
return new Info(height, nodes);
}
// for test
public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) {
return generate(1, maxLevel, maxValue);
}
// for test
public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) {
if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) {
return null;
}
Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
return head;
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 5;
int maxValue = 100;
int testTimes = 1000000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
if (isFull1(head) != isFull2(head)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
1.1.6 例六：二叉搜索树的头结点
给定一棵二叉树的头结点head，返回这颗二叉树中最大的二叉搜索子树的头节点
和前文的返回二叉搜索子树的Size问题类似
package class08;
import java.util.ArrayList;
public class Code05_MaxSubBSTHead {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
public static int getBSTSize(Node head) {
if (head == null) {
return 0;
}
ArrayList<Node> arr = new ArrayList<>();
in(head, arr);
for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {
if (arr.get(i).value <= arr.get(i - 1).value) {
return 0;
}
}
return arr.size();
}
public static void in(Node head, ArrayList<Node> arr) {
if (head == null) {
return;
}
in(head.left, arr);
arr.add(head);
in(head.right, arr);
}
public static Node maxSubBSTHead1(Node head) {
if (head == null) {
return null;
}
if (getBSTSize(head) != 0) {
return head;
}
Node leftAns = maxSubBSTHead1(head.left);
Node rightAns = maxSubBSTHead1(head.right);
return getBSTSize(leftAns) >= getBSTSize(rightAns) ? leftAns : rightAns;
}
public static Node maxSubBSTHead2(Node head) {
if (head == null) {
return null;
}
return process(head).maxSubBSTHead;
}
// 每一棵子树Info
public static class Info {
public Node maxSubBSTHead;
public int maxSubBSTSize;
public int min;
public int max;
public Info(Node h, int size, int mi, int ma) {
maxSubBSTHead = h;
maxSubBSTSize = size;
min = mi;
max = ma;
}
}
public static Info process(Node X) {
if (X == null) {
return null;
}
Info leftInfo = process(X.left);
Info rightInfo = process(X.right);
int min = X.value;
int max = X.value;
Node maxSubBSTHead = null;
int maxSubBSTSize = 0;
if (leftInfo != null) {
min = Math.min(min, leftInfo.min);
max = Math.max(max, leftInfo.max);
maxSubBSTHead = leftInfo.maxSubBSTHead;
maxSubBSTSize = leftInfo.maxSubBSTSize;
}
if (rightInfo != null) {
min = Math.min(min, rightInfo.min);
max = Math.max(max, rightInfo.max);
if (rightInfo.maxSubBSTSize > maxSubBSTSize) {
maxSubBSTHead = rightInfo.maxSubBSTHead;
maxSubBSTSize = rightInfo.maxSubBSTSize;
}
}
if ((leftInfo == null ? true : (leftInfo.maxSubBSTHead == X.left && leftInfo.max < X.value))
&& (rightInfo == null ? true : (rightInfo.maxSubBSTHead == X.right && rightInfo.min > X.value))) {
maxSubBSTHead = X;
maxSubBSTSize = (leftInfo == null ? 0 : leftInfo.maxSubBSTSize)
+ (rightInfo == null ? 0 : rightInfo.maxSubBSTSize) + 1;
}
return new Info(maxSubBSTHead, maxSubBSTSize, min, max);
}
// for test
public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) {
return generate(1, maxLevel, maxValue);
}
// for test
public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) {
if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) {
return null;
}
Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
return head;
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 4;
int maxValue = 100;
int testTimes = 1000000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
if (maxSubBSTHead1(head) != maxSubBSTHead2(head)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
1.1.7 例子七：是否是完全二叉树
给定一棵二叉树的头结点head，返回这颗二叉树是不是完全二叉树
完全二叉树概念在堆的章节，有介绍。
宽度优先遍历解决思路:
1、如果用树的宽度优先遍历的话，如果某个节点有右孩子，但是没有左孩子，一定不是完全二叉树
2、在1条件的基础上，一旦遇到第一个左右孩子不双全的节点，后续所有节点必须为叶子节点
二叉树递归套路解法思路：
1、满二叉树（无缺口），一定是完全二叉树。此时左右树需要给X的信息是，是否是满的和高度。如果左右树满，且左右树高度一样，那么是该种情况--满二叉树
2、有缺口，1缺口可能停在我的左树上。左树需要给我是否是完全二叉树，右树需要给X是否是满二叉树，且左树高度比右树高度大1
3、缺口可能在左右树的分界。左树是满的，右树也是满的，左树高度比右树大1
4、左树已经满了，缺口可能在我的右树上。左树是满的，右树是完全二叉树，且左右树高度一样
所以我们的递归时，需要向子树要的信息为：是否是完全二叉树，是否是满二叉树，高度
package class08;
import java.util.LinkedList;
public class Code06_IsCBT {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
// 宽度优先遍历解决方法
public static boolean isCBT1(Node head) {
if (head == null) {
return true;
}
LinkedList<Node> queue = new LinkedList<>();
// 是否遇到过左右两个孩子不双全的节点
boolean leaf = false;
Node l = null;
Node r = null;
queue.add(head);
while (!queue.isEmpty()) {
head = queue.poll();
l = head.left;
r = head.right;
if (
// 如果遇到了不双全的节点之后，又发现当前节点不是叶节点
(leaf && (l != null || r != null)) || (l == null && r != null)
) {
return false;
}
if (l != null) {
queue.add(l);
}
if (r != null) {
queue.add(r);
}
if (l == null || r == null) {
leaf = true;
}
}
return true;
}
// 递归的解法
public static boolean isCBT2(Node head) {
if (head == null) {
return true;
}
return process(head).isCBT;
}
// 对每一棵子树，是否是满二叉树、是否是完全二叉树、高度
public static class Info {
public boolean isFull;
public boolean isCBT;
public int height;
public Info(boolean full, boolean cbt, int h) {
isFull = full;
isCBT = cbt;
height = h;
}
}
// 对于任何节点，我们要返回三个元素组成的Info
public static Info process(Node X) {
// 如果是空树，我们封装Info而不是返回为空
// 方便下文不需要额外增加判空处理
if (X == null) {
return new Info(true, true, 0);
}
// 左树info
Info leftInfo = process(X.left);
// 右树info
Info rightInfo = process(X.right);
// 接下来整合当前X的Info
// 高度信息=左右树最大高度值+1
int height = Math.max(leftInfo.height, rightInfo.height) + 1;
// X是否是满二叉树信息=左右都是满且左右高度一样
boolean isFull = leftInfo.isFull
&&
rightInfo.isFull
&& leftInfo.height == rightInfo.height;
// X是否是完全二叉树
boolean isCBT = false;
// 满二叉树是完全二叉树
if (isFull) {
isCBT = true;
// 以x为头整棵树，不满
} else {
// 左右都是完全二叉树才有讨论的必要
if (leftInfo.isCBT && rightInfo.isCBT) {
// 第二种情况
if (leftInfo.isCBT
&& rightInfo.isFull
&& leftInfo.height == rightInfo.height + 1) {
isCBT = true;
}
// 第三种情况
if (leftInfo.isFull
&&
rightInfo.isFull
&& leftInfo.height == rightInfo.height + 1) {
isCBT = true;
}
// 第四种情况
if (leftInfo.isFull
&& rightInfo.isCBT && leftInfo.height == rightInfo.height) {
isCBT = true;
}
}
}
return new Info(isFull, isCBT, height);
}
// for test
public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) {
return generate(1, maxLevel, maxValue);
}
// for test
public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) {
if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) {
return null;
}
Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
return head;
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 5;
int maxValue = 100;
int testTimes = 1000000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
if (isCBT1(head) != isCBT2(head)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
1.1.8 例子八：最低公共祖先
给次那个一颗二叉树的头结点head，和另外两个节点a和b。返回a和b的最低公共祖先
二叉树的最低公共祖先概念： 任意两个节点，往父亲看，最开始交汇的节点，就是最低公共祖先
解法一：用辅助map，Key表示节点，Value表示节点的父亲节点。我们把两个目标节点的父亲以此放到map中，依次遍历
解法二：使用二叉树的递归套路。
1、o1和o2都不在以X为头的树上
2、o1和o2有一个在以X为头的树上
3、o1和o2都在以X为头的树上
3.1、X为头的树，左树右树各有一个
3.2、X为头的树，左树含有o1和o2
3.3、X为头的树，右树含有o1和o2
4、X自身就是o1或者o2，即如果X是o1那么左右树收集到o2即可，如果X是o2，左右树收集到o1即可。
package class08;
import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
public class Code07_lowestAncestor {
public static class Node {
public int value;
public Node left;
public Node right;
public Node(int data) {
this.value = data;
}
}
// 解法1，借助辅助Map和Set
public static Node lowestAncestor1(Node head, Node o1, Node o2) {
if (head == null) {
return null;
}
// key的父节点是value
HashMap<Node, Node> parentMap = new HashMap<>();
parentMap.put(head, null);
// 递归填充map
fillParentMap(head, parentMap);
// 辅助set
HashSet<Node> o1Set = new HashSet<>();
Node cur = o1;
o1Set.add(cur);
// o1Set存入的是沿途所有的父节点
while (parentMap.get(cur) != null) {
cur = parentMap.get(cur);
o1Set.add(cur);
}
cur = o2;
// o2的某个父节点在o1Set中，就是我们要找的节点
while (!o1Set.contains(cur)) {
cur = parentMap.get(cur);
}
return cur;
}
public static void fillParentMap(Node head, HashMap<Node, Node> parentMap) {
if (head.left != null) {
parentMap.put(head.left, head);
fillParentMap(head.left, parentMap);
}
if (head.right != null) {
parentMap.put(head.right, head);
fillParentMap(head.right, parentMap);
}
}
// 解法1，二叉树递归套路解法
public static Node lowestAncestor2(Node head, Node o1, Node o2) {
return process(head, o1, o2).ans;
}
// 任何子树需要的信息结构
public static class Info {
// o1和o2的最初交汇点，如果不是在当前这颗X节点的树上，返回空
public Node ans;
// 在当前子树上，是否发现过o1和o2
public boolean findO1;
public boolean findO2;
public Info(Node a, boolean f1, boolean f2) {
ans = a;
findO1 = f1;
findO2 = f2;
}
}
public static Info process(Node X, Node o1, Node o2) {
// o1和o2不为空，那么空树上的Info如下
if (X == null) {
return new Info(null, false, false);
}
// 左树返回的Info
Info leftInfo = process(X.left, o1, o2);
// 右树返回的Info
Info rightInfo = process(X.right, o1, o2);
// 构建X自身需要返回的Info
// X为头的树上是否发现了o1
boolean findO1 = X == o1 || leftInfo.findO1 || rightInfo.findO1;
// X为头的树上是否发现了o2
boolean findO2 = X == o2 || leftInfo.findO2 || rightInfo.findO2;
// O1和O2最初的交汇点在哪？
// 1) 在左树上已经提前交汇了,最初交汇点保留左树的
Node ans = null;
if (leftInfo.ans != null) {
ans = leftInfo.ans;
}
// 2) 在右树上已经提前交汇了，最初交汇点保留右树的
if (rightInfo.ans != null) {
ans = rightInfo.ans;
}
// 3) 没有在左树或者右树上提前交汇
if (ans == null) {
// 但是找到了o1和o2，那么交汇点就是X自身
if (findO1 && findO2) {
ans = X;
}
}
return new Info(ans, findO1, findO2);
}
// for test
public static Node generateRandomBST(int maxLevel, int maxValue) {
return generate(1, maxLevel, maxValue);
}
// for test
public static Node generate(int level, int maxLevel, int maxValue) {
if (level > maxLevel || Math.random() < 0.5) {
return null;
}
Node head = new Node((int) (Math.random() * maxValue));
head.left = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
head.right = generate(level + 1, maxLevel, maxValue);
return head;
}
// for test
public static Node pickRandomOne(Node head) {
if (head == null) {
return null;
}
ArrayList<Node> arr = new ArrayList<>();
fillPrelist(head, arr);
int randomIndex = (int) (Math.random() * arr.size());
return arr.get(randomIndex);
}
// for test
public static void fillPrelist(Node head, ArrayList<Node> arr) {
if (head == null) {
return;
}
arr.add(head);
fillPrelist(head.left, arr);
fillPrelist(head.right, arr);
}
public static void main(String[] args) {
int maxLevel = 4;
int maxValue = 100;
int testTimes = 1000000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
Node head = generateRandomBST(maxLevel, maxValue);
Node o1 = pickRandomOne(head);
Node o2 = pickRandomOne(head);
if (lowestAncestor1(head, o1, o2) != lowestAncestor2(head, o1, o2)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
二叉树的递归套路，最终转化为基于X只找可能性即可。即树形DP问题
