[Ynoi2015]盼君勿忘
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第一道 Ynoi 纪念一下qwq
题意
- 给定一个序列，每次求一个区间 \([l,r]\) 中所有子序列分别去重后的和 \(\bmod p\)。
Sol
观察题意，可以发现：
-
可离线。
-
每次模数不同。
-
十有八九爆 \(\text{int}\)。
对于第 \(1\) 点，容易想到用莫队解决问题。
那么时间复杂度已经到 \(O(n \sqrt n)\) 了。（
我们考虑每一位对答案的贡献。
对于区间 \([l,r]\)，考虑 \(a_i\) 的贡献 。（\(l \le i \le r\)）
设 \(a_i\) 在区间 \([l,r]\) 中出现 \(cnt_{a_i}\) 次。
我们知道，一个元素总数为 \(k\) 的集合的子集个数为 \(2^k\) 个。
可由 \(\sum\limits^k_{i=1}\dbinom{k}{i}=2^k\) 得出结论。
那么我们接下来算单个元素贡献有两种推导方法。
Sol 1
我们直接从选入手。
那么可得贡献即为选的乘上不选的状态数。
即 \((2^{cnt_{a_i}}-1)\times 2^{r-l+1-cnt_{a_i}}\)。
其中 \((2^{cnt_{a_i}}-1)\) 表示选的非空子集。
可化为 \(2^{r-l+1}-2^{r-l+1-cnt_{a_i}}\)。
Sol 2
我们转换一下思路，一个子序列只有包含和不包含两种情况。
那么我们可以想到用总数减去不包含的状态数。
即直接可得 \(2^{r-l+1}-2^{r-l+1-cnt_{a_i}}\)。
我们考虑在莫队时保存出现次数相同元素的和。
需要快速插入，删除。
由于不需要保证有序，容易想到双向链表。（建议手写）
\(O(1)\) 时间完成插入删除操作。
我们考虑模数不同，如何迅速求出 \(2^k \bmod p\)
我们考虑关于 \(\sqrt n\) 分组。
\(2^k=2^{\left\lfloor\frac{k}{\sqrt n}\right\rfloor \times \sqrt n+k \bmod \sqrt n}=2^{\left\lfloor\frac{k}{\sqrt n}\right\rfloor \times \sqrt n} \times 2^{k \bmod \sqrt n}\)
那么我们可以预处理出 \(2^1\)，\(2^2\)，\(2^3\)...\(2^{\sqrt n}\)，\(2^{2\sqrt n}\)，\(2^{3\sqrt n}\)...\(2^n\) 取模后的值。
并用上面的公式计算。
那么，似乎问题解决完了？qaq
为了卡常，我们全写 \(\text{int}\)，想着还有取模呢。qaq
交一发样例，过了。交一发，WAWAWA，抱灵了。（（（
这时候你需要在一些可能爆炸的地方强制类型转换成 \(\text{long long}\)。qwq
这样才可能不 WA。（
不要问我怎么知道 我调这个调了 \(6\) 天才发现。
那么交一发 A 了qwq。
为啥加了火车头比不加慢啊qaq
给个刚好能过的代码主要在#9被卡。（
/*
***
还要继续努力
成为一名烤咕学家哦
***
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define re register int
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int n,m,a[N],len,ans[N],cnt[N],sum[N],l=1,r=0,pw1[N],pw2[N];
struct Question{int l,r,p,id,pos;}q[N];
struct LINKED_LIST{
struct Link{int pre,nxt;}lk[N];int cnt;
LINKED_LIST(){cnt=0;}
inline void Insert(int x){
lk[cnt].nxt=x;
lk[x].pre=cnt;
cnt=x;
}
inline void Erase(int x){
if(x^cnt){
lk[lk[x].pre].nxt=lk[x].nxt;
lk[lk[x].nxt].pre=lk[x].pre;
}
else cnt=lk[x].pre;
lk[x].pre=lk[x].nxt=0;
}
}qaq;
template <typename T> inline void rd(T &x){
re fl=1;x=0;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') fl=-fl;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
x*=fl;
}
void wr(int x){
if(x<0) x=-x,putchar('-');
if(x<10) putchar(x+'0');
if(x>9) wr(x/10),putchar(x%10+'0');
}
bool cmp(Question x,Question y){
if(x.pos!=y.pos) return x.pos<y.pos;
if(x.pos&1) return x.r<y.r;
return x.r>y.r;
}
inline void init_pow(int p){
pw1[0]=pw2[0]=1;
for(re i=1;i<=len;i++) pw1[i]=((ll)1ll*pw1[i-1]*2)%p;
for(re i=1;i<=len;i++) pw2[i]=((ll)1ll*pw2[i-1]*pw1[len])%p;
}
inline int get_pow(int x,int p){return ((ll)pw1[x%len]*pw2[x/len])%p;}
inline void upd(int x,int op){
sum[cnt[a[x]]]-=a[x];
if(!sum[cnt[a[x]]]) qaq.Erase(cnt[a[x]]);
cnt[a[x]]+=op;
if(!sum[cnt[a[x]]]) qaq.Insert(cnt[a[x]]);
sum[cnt[a[x]]]+=a[x];
}
int main(){
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
rd(n);rd(m);
len=(int)sqrt(n);
for(re i=1;i<=n;i++) rd(a[i]);
for(re i=1;i<=m;i++) rd(q[i].l),rd(q[i].r),rd(q[i].p),q[i].id=i,q[i].pos=(q[i].l-1)/len+1;
sort(q+1,q+m+1,cmp);
for(re i=1;i<=m;i++){
init_pow(q[i].p);
while(l>q[i].l) --l,upd(l,1);
while(r<q[i].r) ++r,upd(r,1);
while(l<q[i].l) upd(l,-1),l++;
while(r>q[i].r) upd(r,-1),r--;
for(re j=qaq.lk[0].nxt;j;j=qaq.lk[j].nxt)
ans[q[i].id]=((ans[q[i].id]+(ll)1ll*sum[j]*(get_pow(r-l+1,q[i].p)-get_pow(r-l+1-j,q[i].p))+q[i].p)%q[i].p+q[i].p)%q[i].p;
}
for(re i=1;i<=m;i++) wr(ans[i]),puts("");
return 0;
}
