[TJOI2018]游园会 - 题解

题意：
对于每一个\(i\)求满足如下条件的字符串的数目

1. 长度为\(n\)且只出现过'N','O','I'三种字符
2. 和一个长度为\(k\)的模式串的最长公共子序列长度恰好为\(i\)
3. 不含"NOI"这个子串

题解：DP套DP。
首先考虑最长公共子序列怎么求。令\(dp[i][j]\)表示当前串的第\(i\)位，模式串的第\(j\)位为止最长公共子序列长度为多少，转移方程显然，\(dp[i][j]\)可以滚动数组优化。
令\(f[u][i][j]\)表示已经从\(1\)到\(n\)计算到第\(u\)个字符，当前\(dp[u]\)的状态\(i\)，”NOI”中以完成前\(j\)位的方案数，\(u\)可以滚动数组优化空间，关于\(j\)的转移方程显然。对于\(i\)的转移，只要进行最长公共子序列的动态规划转移即可。
考虑优化\(i\)的空间。对于\(dp[i][j]\)和\(dp[i][j-1]\)，前者至多比后者多\(1\)，所以可以差分\(dp[u]\)，然后二进制压缩空间。
\(6000 ms\) 能过。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
int n, k, sz[32768], a[40], b[40];
char T[40];
int Now = 0;
ll ans[40], f[2][32768][3];

inline int Max(int x, int y) { return x > y? x : y; }
void init() {
	scanf("%d%d%s", &n, &k, T + 1);
	for(int i = 1; i < (1 << k); i++)
		sz[i] = sz[i / 2] + (i & 1);
	f[Now][0][0] = 1;
}
void del_hsh(int x) {
	for(int i = 0; i < k; i++) a[i + 1] = (x >> i) & 1;
	for(int i = 1; i <= k; i++)	a[i] += a[i - 1];
}
int get_hsh() {
	int sum = 0;
	for(int i = 0; i < k; i++) sum |= (b[i + 1] - b[i]) << i;
	return sum;
}
void dp(int u, int x, int h, char c, ll val) {
	del_hsh(x);
	for(int i = 1; i <= k; i++)
		b[i] = Max(a[i], Max(b[i - 1], a[i - 1] + (c == T[i])));
	int y = get_hsh(); f[u][y][h] = (f[u][y][h] + val) % mod;
}
void solve() {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int New = Now ^ 1;
		for(int j = 0; j < (1 << k); j++)
			for(int h = 0; h < 3; h++) f[New][j][h] = 0;
		for(int j = 0; j < (1 << k); j++) {
			if(f[Now][j][0])
				dp(New, j, 1, 'N', f[Now][j][0]),
				dp(New, j, 0, 'O', f[Now][j][0]),
				dp(New, j, 0, 'I', f[Now][j][0]);
			if(f[Now][j][1])
				dp(New, j, 1, 'N', f[Now][j][1]),
				dp(New, j, 2, 'O', f[Now][j][1]),
				dp(New, j, 0, 'I', f[Now][j][1]);
			if(f[Now][j][2])
				dp(New, j, 1, 'N', f[Now][j][2]),
				dp(New, j, 0, 'O', f[Now][j][2]);
		}
		Now = New;
	}
}
void print() {
	for(int i = 0; i < (1 << k); i++)
		for(int j = 0; j < 3; j++)
			ans[sz[i]] = (ans[sz[i]] + f[Now][i][j]) % mod;
	for(int i = 0; i <= k; i++) printf("%lld\n", ans[i]);
}
int main() {
	init(),solve(),print();
	return 0;
}