【清华集训2016】石家庄的工人阶级队伍比较坚强
我作为沙比OI选手果然沙比。
明明都推出来了我都没看到（把减号写个异或？）
直接使用二次剩余版本在这 /kk
首先我们手动打个比较表，可以发现，比较是一个减法，我们构造 \(0\) 为平， \(1\) 为胜， \(2\) 为负。
对于两个选手 \(x\)，\(y\)，对 \(x\) 贡献就是 \(b_{\mathrm{cnt}\left(x - y, 1\right),\mathrm{cnt}\left(x - y, 2\right)}\)。其中 \(-\) 是三进制不退位减法，\(cnt(x,y)\) 是 \(x\) 在三进制下值为 \(y\) 的数位的个数。
我们记 \(B_x = b_{\mathrm{cnt}\left(x, 1\right),\mathrm{cnt}\left(x, 2\right)}\)
然后式子就变成了
其中 \(+\) 就是三进制不进位加法，可以当做异或。
那么显然我们构造出了卷积，可以使用高维 DFT 来解决（也就是三进制 FWT）。其中做 \(T\) 次也就是点值快速幂。
那么我们需要三次单位根。三次单位根有很好的性质 \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)，解得一个根 \(\omega = \frac{-1 + \sqrt{3} \mathrm{i}}{2}\)。
然后这个 \(-3\) 在模 \(P\) 意义下的二次剩余是有的，但是我不会证，也不会excipolla，要学习这个姿势的dalao们请看 yhx-12243 的 blog
所以我们决定扩域，使用 \(a + by\) 解决，其中 \(y^2 = -3\)，显然可以用一个二元组实现乘法和加法。
那么我们有了单位根自然可以做 DFT 了。直接套用DFT矩阵 写个高维 DFT 就行了 （FFT什么的不存在的，这个就是直接DFT就行了）。
根据单位根性质，注意最后要除以序列总长度。
复杂度 \(O\left(3^n \left(n + \log T\right)\right)\)
Hack数据里有一个假的数据，不满足题目限制，然后 yhx-12243 跑 Excipolla 挂了？ 反正扩域没事情。只是常数大了 \(4\) 倍，垫底了。
#include <bits/stdc++.h>
const int MAXN = 531441;
int m, T, mod, pw3[13], N;
typedef long long LL;
void reduce(int & x) { x += x >> 31 & mod; }
int mul(int a, int b) { return (LL) a * b % mod; }
int fastpow(int a, int b) {
int res = 1;
for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a)) if (b & 1) res = mul(res, a);
return res;
}
int os;
struct comp {
int r, i;
comp() { r = i = 0; }
comp(int a, int b) { r = a, i = b; }
comp operator * (comp b) {
return comp(((LL) r * b.r + (LL) i * b.i % mod * os) % mod, ((LL) r * b.i + (LL) i * b.r) % mod);
}
comp operator + (comp b) {
comp t(r + b.r - mod, i + b.i - mod);
reduce(t.r); reduce(t.i);
return t;
}
} A[MAXN], B[MAXN];
comp fastpow(comp a, int b) {
comp res(1, 0);
for (; b; b >>= 1, a = a * a) if (b & 1) res = res * a;
return res;
}
comp W, Ws;
void FWT(comp * A, int typ) {
comp Wn = typ == 1 ? W : Ws;
comp Wns = typ == 1 ? Ws : W;
for (int mid = 1; mid != N; mid *= 3)
for (int k = 0; k != N; k += mid * 3)
for (int l = 0; l != mid; ++l) {
comp & x = A[l + k], & y = A[l + k + mid], & z = A[l + k + mid * 2];
comp ta = x + y + z;
comp tb = x + y * Wn + z * Wns;
comp tc = x + y * Wns + z * Wn;
x = ta, y = tb, z = tc;
}
}
int tr[20][20];
int get(int x, int y) {
int res = 0;
while (x) res += x % 3 == y, x /= 3;
return res;
}
int main() {
std::ios_base::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0);
std::cin >> m >> T >> mod;
os = mod - 3;
pw3[0] = 1;
for (int i = 1; i != 13; ++i) pw3[i] = pw3[i - 1] * 3;
N = pw3[m];
const int iv2 = mod + 1 >> 1;
const int iv3 = mul(mod % 3 == 1 ? 1 : iv2, mod - mod / 3);
const int liminv = fastpow(iv3, m);
W = comp(mod - iv2, iv2);
Ws = W * W;
for (int i = 0; i < N; ++i) std::cin >> A[i].r;
for (int i = 0; i <= m; ++i)
for (int j = 0; j + i <= m; ++j)
std::cin >> tr[i][j];
for (int i = 0; i < N; ++i)
B[i].r = tr[get(i, 1)][get(i, 2)];
FWT(A, 1); FWT(B, 1);
for (int i = 0; i < N; ++i)
A[i] = A[i] * fastpow(B[i], T);
FWT(A, -1);
for (int i = 0; i < N; ++i) A[i].r = mul(A[i].r, liminv);
for (int i = 0; i < N; ++i) std::cout << A[i].r << '\n';
return 0;
}
