将 n个球放入M个盒子中, 设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的期望

 将 n个球放入M个盒子中, 设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的期望。

 引入随机变量

xi 表示第i个盒子有没有球

 则 X=X1+X2+…+XM .于是,

 E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM).

 每个Xi都服从两点分布，i =1,2,…,M。

 因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)。

 故N个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)^n ，即

n-n(1-1/M)^n