一些组合数学公式和经典问题
公式
-
\(A_n^m\) \(=\) \(n! \over (n-m)!\)
-
\(C_n^m\) \(=\) \(A_n^m \over m!\) \(=\) \(n! \over {m!(n-m)!}\) \(= \frac{n^{\underline{m}}}{m!}\)
-
\((^n_m) = (^{n - 1}_m) + (^{n - 1}_{m - 1})\)
递推式,实际意义,考虑最后一个选不选。杨辉三角
- \((^n_m) = (^n_{n-m})\)
实际意义,选\(m\)个和不选\(n-m\)个是一样的
- \((^{n+r+1}_r)\) = \(\sum_{i = 0}^{r}\) \((^{n + i}_i)\)
不断利用第一条性质展开
\((^{n+r+1}_r)\)
\(=\) \((^{n+r}_r)\) + \((^{n+r}_{r-1})\)
\(=\) \((^{n+r}_r)\) + \((^{n+r-1}_{r-1})\) + \((^{n+r-1}_{r-2})\)
\(=\) \((^{n+r}_r)\) + \((^{n+r-1}_{r-1})\) + ......+ \((^{n}_{-1})\)
其中\((^{n}_{-1})\) \(=\) 0
- \((^{n}_{m})\) \((^{m}_{r})\) \(=\) \((^{n}_{r})\) \((^{n-r}_{m-r})\)
实际意义,\(n\)个人,\(m\)个奖,\(r\)个特等奖
- \(m\) \((^{n}_{m})\) \(=\) \(n\) \((^{n-1}_{m-1})\)
上面式子当\(r = 1\)时,非常重要,可以完成\(n\)和\(m\)的转换
-
\((^{n+m}_{r})\) \(=\) \(\sum_{i=0}^r\) \((^{n}_{i})\) \((^{m}_{r-i})\)
-
\(\sum_{i = 0}^n\) \(i\) \((^{n}_{i})\) \(=\) \(n\) \(2^{n-1}\)
利用上述性质和二项式定理
\(\sum_{i = 0}^n\) \(i\) \((^{n}_{i})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \(n\) \((^{n - 1}_{i-1})\)
\(=\) \(n\) \(\sum_{i = 0}^n\) \((^{n - 1}_{i-1})\)
\(=\) \(n\) \(2^{n-1}\)
扩展:
\(\sum_{i = 0}^n\) \(i^2\) \((^{n}_{i})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \((i(i-1)+i)\) \((^{n}_{i})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \(i(i-1)\) \((^{n}_{i})\) + \(i\) \((^{n}_{i})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \(n(i-1)\) \((^{n-1}_{i-1})\) + \(n\) \((^{n-1}_{i-1})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \(n(n-1)\) \((^{n-2}_{i-2})\) + \(n\) \((^{n-1}_{i-1})\)
豁然开朗
- \(\sum_{k=0}^{n}\) \((^n_k)^2\) \(=\) \((^{2n}_n)\)
利用一些性质
\(\sum_{k=0}^{n}\) \((^n_k)^2\)
\(=\) \(\sum_{k=0}^{n}\) \((^n_k)\) \((^n_{n-k})\)
再利用组合意义,从 \(2n\) 个里面选 \(n\) 个,等于从 \(n\) 里面选 \(i\) 个,再从 剩余\(n\) 个选 \(n-i\) 个
- \({n}\choose{m}\) \(=\) \((-1)^n\) \({-m-1}\choose{n}\)
用\(\frac{n^{\underline{m}}}{m!}\) 展开发现是等价的
经典问题
球与盒子
\(n\)个球,\(m\)个盒子
-
球有编号,盒子有编号,无限制 \(m^n\)
-
至多有一个 \(m^{n\over}\)
第一个球有\(m\)种选择,第二个球\(m-1\)种选择,依次类推
- 至少有一个 \(\sum_{i=0}^m\) \((^m_i)\) \((-1)^i\) \((m-i)^n\)
二项式反演
- 4.球有编号,盒子没有编号,无限制 \(\sum_{i=0}^{m}\) \(\{_i^n\}\)
第二类斯特林数不允许有空集
-
5.至多有一个 \([m\) \(\geq\) \(n]\)
-
6.至少有一个 \(\{_m^n\}\)
第二类斯特林数不允许有空集
- 7.球没有编号,盒子有编号,无限制 \((^{n+m-1}_{m-1})\)
插板法,\(m-1\)个板,插到\(n+m-1\)个空位置
- 8.至多有一个 \((^m_n)\)
\(m\) 个盒子放 \(n\) 个球,每个盒子至多被放一次,逆向思维
- 9.至少有一个 \((^{n-1}_{m-1})\)
先全部放一个 \(n=n-m\) 这样就是第 \(7\) 种情况带入得 \((^{n-1}_{m-1})\)
- 10.球没有编号,盒子没有编号,无限制 \(p_{n,m}\)
拆分数 \(p_{n,m}\) \(=\) \(p_{n,m-1}\) \(+\) \(p_{n-m,m}\)
第一种理解:分类讨论:
1.全部由上一个加一得来 \(p_{n-m,m}\)
2.没有空的情况,所以在最后一个放空进行计算 \(p_{n,m-1}\)
第二种理解:这个问题等价于 \(n\) 拆分成一些数,这些数相加等于 \(n\) ,最大的是 \(m\)
相当于上边的每个盒子出一个,没有的记为0,一直出,直到全部没有,相加等于 \(n\) 最大值为 \(m\)
分类讨论:
1.最大值是 \(m\) , 所以需要 \(m\) 个数构成 \(m\) , 所以是 \(n-m\) , 即 \(p_{n-m,m}\)
2.最大值不是 \(m\) , 即 \(p_{n,m-1}\)
-
11.至多放一个 \([m\) $ \geq$ \(n]\)
-
12.至少放一个 \(p_{n-m,m}\)
先全部放一个 , \(n=n-m\),就变成了第10种情况,带入得 \(p_{n-m,m}\)