一些组合数学公式和经典问题

公式

• \(A_n^m\) \(=\) \(n! \over (n-m)!\)

• \(C_n^m\) \(=\) \(A_n^m \over m!\) \(=\) \(n! \over {m!(n-m)!}\) \(= \frac{n^{\underline{m}}}{m!}\)

• \((^n_m) = (^{n - 1}_m) + (^{n - 1}_{m - 1})\)

递推式，实际意义,考虑最后一个选不选。杨辉三角

• \((^n_m) = (^n_{n-m})\)

实际意义,选\(m\)个和不选\(n-m\)个是一样的

• \((^{n+r+1}_r)\) = \(\sum_{i = 0}^{r}\) \((^{n + i}_i)\)

不断利用第一条性质展开

\((^{n+r+1}_r)\)

\(=\) \((^{n+r}_r)\) + \((^{n+r}_{r-1})\)

\(=\) \((^{n+r}_r)\) + \((^{n+r-1}_{r-1})\) + \((^{n+r-1}_{r-2})\)

\(=\) \((^{n+r}_r)\) + \((^{n+r-1}_{r-1})\) + ......+ \((^{n}_{-1})\)

其中\((^{n}_{-1})\) \(=\) 0

• \((^{n}_{m})\) \((^{m}_{r})\) \(=\) \((^{n}_{r})\) \((^{n-r}_{m-r})\)

实际意义，\(n\)个人，\(m\)个奖，\(r\)个特等奖

• \(m\) \((^{n}_{m})\) \(=\) \(n\) \((^{n-1}_{m-1})\)
  上面式子当\(r = 1\)时，非常重要，可以完成\(n\)和\(m\)的转换

• \((^{n+m}_{r})\) \(=\) \(\sum_{i=0}^r\) \((^{n}_{i})\) \((^{m}_{r-i})\)

• \(\sum_{i = 0}^n\) \(i\) \((^{n}_{i})\) \(=\) \(n\) \(2^{n-1}\)

利用上述性质和二项式定理

\(\sum_{i = 0}^n\) \(i\) \((^{n}_{i})\)

\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \(n\) \((^{n - 1}_{i-1})\)

\(=\) \(n\) \(\sum_{i = 0}^n\) \((^{n - 1}_{i-1})\)

\(=\) \(n\) \(2^{n-1}\)

扩展：
\(\sum_{i = 0}^n\) \(i^2\) \((^{n}_{i})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \((i(i-1)+i)\) \((^{n}_{i})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \(i(i-1)\) \((^{n}_{i})\) + \(i\) \((^{n}_{i})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \(n(i-1)\) \((^{n-1}_{i-1})\) + \(n\) \((^{n-1}_{i-1})\)
\(=\) \(\sum_{i = 0}^n\) \(n(n-1)\) \((^{n-2}_{i-2})\) + \(n\) \((^{n-1}_{i-1})\)
豁然开朗

• \(\sum_{k=0}^{n}\) \((^n_k)^2\) \(=\) \((^{2n}_n)\)

利用一些性质

\(\sum_{k=0}^{n}\) \((^n_k)^2\)

\(=\) \(\sum_{k=0}^{n}\) \((^n_k)\) \((^n_{n-k})\)

再利用组合意义，从 \(2n\) 个里面选 \(n\) 个，等于从 \(n\) 里面选 \(i\) 个，再从 剩余\(n\) 个选 \(n-i\) 个

• \({n}\choose{m}\) \(=\) \((-1)^n\) \({-m-1}\choose{n}\)

用\(\frac{n^{\underline{m}}}{m!}\) 展开发现是等价的

经典问题

球与盒子

\(n\)个球，\(m\)个盒子

• 球有编号，盒子有编号，无限制 \(m^n\)

• 至多有一个 \(m^{n\over}\)

第一个球有\(m\)种选择，第二个球\(m-1\)种选择，依次类推

• 至少有一个 \(\sum_{i=0}^m\) \((^m_i)\) \((-1)^i\) \((m-i)^n\)

二项式反演

• 4.球有编号，盒子没有编号，无限制 \(\sum_{i=0}^{m}\) \(\{_i^n\}\)

第二类斯特林数不允许有空集

• 5.至多有一个 \([m\) \(\geq\) \(n]\)

• 6.至少有一个 \(\{_m^n\}\)

第二类斯特林数不允许有空集

• 7.球没有编号，盒子有编号，无限制 \((^{n+m-1}_{m-1})\)

插板法，\(m-1\)个板，插到\(n+m-1\)个空位置

• 8.至多有一个 \((^m_n)\)

\(m\) 个盒子放 \(n\) 个球，每个盒子至多被放一次，逆向思维

• 9.至少有一个 \((^{n-1}_{m-1})\)

先全部放一个 \(n=n-m\) 这样就是第 \(7\) 种情况带入得 \((^{n-1}_{m-1})\)

• 10.球没有编号，盒子没有编号，无限制 \(p_{n,m}\)

拆分数 \(p_{n,m}\) \(=\) \(p_{n,m-1}\) \(+\) \(p_{n-m,m}\)

第一种理解：分类讨论：

1.全部由上一个加一得来 \(p_{n-m,m}\)

2.没有空的情况，所以在最后一个放空进行计算 \(p_{n,m-1}\)

第二种理解：这个问题等价于 \(n\) 拆分成一些数，这些数相加等于 \(n\) ,最大的是 \(m\)

相当于上边的每个盒子出一个，没有的记为0，一直出，直到全部没有，相加等于 \(n\) 最大值为 \(m\)

分类讨论：

1.最大值是 \(m\) , 所以需要 \(m\) 个数构成 \(m\) , 所以是 \(n-m\) , 即 \(p_{n-m,m}\)

2.最大值不是 \(m\) , 即 \(p_{n,m-1}\)

• 11.至多放一个 \([m\) $ \geq$ \(n]\)

• 12.至少放一个 \(p_{n-m,m}\)

先全部放一个 ， \(n=n-m\)，就变成了第10种情况，带入得 \(p_{n-m,m}\)