线性代数(理论篇)

2024/8/18 完工

2025/7/28 大改, 删去一些冗杂的证明以及定义, 以及不严谨的地方, 感慨一句当时怎么这里厉害

向量 和 向量组

向量的定义以及各种运算见高中课本

向量组就是多个向量组成的集合

线性运算

向量加和数乘就属于线性运算

线性表出

若 \(\exists k\) 使得 \(\vec{b} = \sum_{a \in S} k_i \vec{a}\)

则说 \(\vec{b}\) 可以被向量组 \(S\) 线性表出

线性相关

\(S\) 是向量组

若 \(\exists a \in S, a\) 可以被 \(S / a\) 线性表出 \(j \ne i\)

则我们说这个向量组是线性相关的, 若不存在则是线性无关的

判断方法

容易证明

线性相关 \(\Leftrightarrow \exists k_i \sum_{a \in S} k_i \vec{a} = \vec{0}\) 其中 \(k_i\) 不全是 \(0\)

线性无关 \(\Leftrightarrow \forall k_i \sum_{a \in S} k_i \vec{a} = \vec{0}\) 其中 \(k_i\) 全是 \(0\)

所以如果包含 \(\vec{0} \Rightarrow\) 向量组一定线性相关

一些命题

\(\vec{b}\) 被向量组 \(S\) 线性表出的方式数只有可能是 1,0,正无穷

\(S\) 可表出 \(T\) 且 \(T\) 线性无关 则有 \(\left| S \right| \ge \left| T \right|\)

归纳的证明, 考虑 \(n = 1\) 时是正确的

当 \(n \ge 2\) 时, 我们只需证明当 \(\left| T \right| = \left| S \right| + 1\) 时 \(T\) 是线性相关的即可

我们假设可以找到一个 \(t_0 \in T\) 使得 \(t_0 = \sum_{s \in S} k_i s\) 其中 \(k_1 \not= 0\)

如果找不到, 说明我们可以用 \(S / {s_1}\) 来线性表出 \(T\) , 数学归纳告诉我这是错误的

我们可以找到集合 \(A, K\) 使得 \(\forall t \in T, t \not= t_0, a_i + k_it_0 = t\) 且 \(a_i = \sum_{s \in S} b_is\) 其中 \(b_1 = 0\)

根据归纳, \(A\) 是线性相关的, 所以存在 \(\sum c_i a = 0\) 我们把系数带回去, 我们发现我们表出来了 \(t_0\)

归纳成功

\(S\) 任意两个极大线性无关组大小相等

向量组的秩

我们称 \(S\) 的极大线性无关组的大小称为 \(S\) 的秩 记作 \(rank(S)\)

矩阵

就是 \(n\) 个 \(m\) 维行向量组成的东西

\[A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,m}\\ ... & ... & ...\\ a_{n,1} & ... & a_{n,m} \end{pmatrix}_{n \times m} \]

通常用大写字母表示

矩阵的运算

• 加法

\(C = A + B\) 有 \(c_{i, j} = a_{i, j} + b_{i, j}\)

• 数乘

\(A = k B\) 有 \(a_{i, j} = k b_{i, j}\)

• 乘法

\(C = A \times B\) 有 \(C_{i,j} = \sum_{k=1}^{A_m} A_{i,k} \times B_{k,j}\)

• 转置

\(A^T\) 称为 \(A\) 的转置

有 \(A_{i,j}=A^T_{j,i}\)

特殊矩阵

• 方阵

行列相等

• 单位矩阵

只有对角线有值, 且为 \(1\) , 记作 \(I\)

有 \(A I = I A = A\)

矩阵的秩

就是行向量或者列向量构成的向量组的秩

行列式

根据高维线性代数 我们可以知道 行列式表示的是 向量在 \(n\) 维空间组成的几何体的体积大小

这个是对于方阵的一个运算

\[det(A) = |A|= \sum_{p} (-1)^{\tau (p)}\prod_{i=1}^n a_{i,p_i} \]

\(p\) 是 \(1\) 到 \(n\) 的全排列,\(\tau (p)\)是排列\(p\)的逆序对个数

行列式有如下性质

• \(det(A) = det(A^T)\)

• \(\begin{vmatrix} ... & ... & ...\\ ta_{k,1} & ... & ta_{k,n}\\ ... & ... & ... \end{vmatrix} = t\begin{vmatrix} ... & ... & ...\\ a_{k,1} & ... & a_{k,n}\\ ... & ... & ... \end{vmatrix}\)

• \(\begin{vmatrix} ... & ... & ...\\ a_{k,1} + b_{k,1} & ... & a_{k,n} + b_{k,n}\\ ... & ... & ... \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} ... & ... & ...\\ a_{k,1} & ... & a_{k,n}\\ ... & ... & ... \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} ... & ... & ...\\ b_{k,1} & ... & b_{k,n}\\ ... & ... & ... \end{vmatrix}\)

• \(i, j\) 行互换 行列式值乘上 \((-1)\)

• \(i, j\) 行相同 值为 \(0\)

可以根据行列式的定义易得他在 \(n\) 维平面一定体积为 \(0\)

• \(i\) 行为 \(j\) 行的 \(k\) 倍 行列式值为 \(0\)

可以用 2 和 5 推出来

• 把一行的 \(k\) 倍加到另一行上, 行列式不变

可以用 3 和 6 推出来

• \(|AB| = |A| |B|\)

不会证明

矩阵初等变换

• \(i\) 行乘上 \(k\)

• \(i\) 行加上 \(j\) 的 \(k\) 倍

• 交换 \(i,j\) 两行

这些都可以使用矩阵表示出来, 这些矩阵成为初等矩阵

---

接下来我们来定义线性代数的一个重要概念

线性空间

集合\((L, +, \cdot )\) 称为域 \(F\) 上的线性空间当且仅当它满足:

• \((L, +)\) 是阿贝尔群

• \(\forall x \in L,1x = x\)

• \(\forall k \in F, \forall x, y \in L, k(x + y) = kx + ky\)

两个线性空间相等当且仅当两个线性空间可以互相表出

人话就是 \(L\) 是元素集合, 他需要满足运算加法以及数乘 \(F\) 只是提供了一个数域

线性子空间

\(L\) 是一个线性空间,若 \(W \subset L\) 并且 \((W, +, \cdot)\) 也是线性空间

我们就称 \(W\) 是 \(L\) 的线性子空间, 记作 \(W \subseteq L\)

张成

\(S\) 的所有线性组合构成的线性子空间称为 \(S\) 张成的子空间

记作 \(<S>\)

线性空间的基和维数

\(S\) 是线性无关组且 \(<S> = L \Leftrightarrow S\) 是 \(L\) 的极大线性无关组

这也称为 \(L\) 的基, \(S\) 中向量的个数也叫做 \(L\) 的维数, 记作 \(dimL\)

容易证明一下命题是正确的

\(S\) 张成的子空间 \(=\) 其极大线性无关组张成的子空间

\(dim<S> = rank(S)\)

线性空间的运算

\(L\) 是一个线性空间 \(U \subseteq L, W \subseteq L\)

• 交 和 并

就是普通集合的交和并

易得 \(U \cap W \subseteq L\)

• 加法

定义 \(U+W=<U \cup W> = \{a_1+a_2:a_1\in U, a_2\in W\}\)

当 \(U \cap W = 0\) 时, 称 \(U + W\) 为直和, 记作 \(U \oplus W\)

容易证明以下命题

\(dimU+dimW=dim(U+W)+dim(U\cap W)\)

以下命题都是等价的

\(V+W\) 是直和

\(\forall a\in V+W, a\) 表示方法唯一

\(0=a_1+a_2\) 表示方法唯一

第二个证明: 若存在 \(a = a_1 + a_2 = b_1 + b_2\) 则有 \(a_1 - b_1 + a_2 - b_2 = 0\) 这和第三个就是等价的了

第三个证明: 表示方法肯定只有都是 \(0\) 如果存在 \(0 = a_1 + a_2\) 且 \(a_1, a_2\) 不为 \(0\), 说明 \(a_1, a_2\) 共线 说明这两个线性子空间的交不只有 \(0\)

补空间

若 \(V_1 \oplus V_2 = L\) 则称 \(V_1, V_2\) (在 \(L\) 中) 互为补空间

记作 \(V_1^{\bot} = V_2\)

陪集

\(V \subseteq L, a \in L\)

定义 \(a+V = \{ a+b; b \in V \}\)

\(a+V\) 称为 \(V\) 的一个陪集

陪集不一定是线性子空间 因为它连原点都不一定包含

几何上理解就是 \(V\) 沿着向量 \(a\) 平移了

\(L\) 为 \(V\) 的一个陪集要么相等要么无交

\(a+V=V \Rightarrow a \in V\)

\(a+V = b+V \Leftrightarrow a-b \in V\)

\(a+V = b+V\Rightarrow a-b+V=V\Rightarrow a-b \in V\)

\(a+V=a+b-b+V=b+a-b+V=b+V\)

商集

${ \bar{a}: a\in S } = S / \sim $ 叫做 \(S\) 关于等价关系 \(\sim\) 的商集

其中 \(\bar{a}\) 叫做等价类 就是所有互相存在二元关系构成的集合

例 \(\mathbb{Z}_p\) 就是 \(\mathbb{Z}\) 的一个商集 \(\mathbb{Z}_p = \{ \bar0, ..., \bar{p-1} \}\)

商空间

\(L\) 是一个线性空间 \(V\) 是一个线性子空间 \(V\) 的所有陪集构成的集合是 \(L\) 的商集 记作 \(L/V\)

运算

\((a+V)+(b+V)=(a+b)+V\)

\(k(a+V)=(ka)+V\)

比较显然的一点是 \(\{ L/V:\{a+V:a \in L\},+,\cdot \}\) 是一个线性空间 我们就称这个叫做 \(L\) 对于 \(V\) 的商空间

我们也得到了一种映射 $\pi : L\rightarrow L/V, a \mapsto a+V $

线性映射

两个线性空间 \(V,W\) 它们都是定义在域 \(F\) 上的

存在一个映射关系 \(\mathfrak{A} : L\rightarrow W, a \mapsto \mathfrak{A}a\)

如果它满足:

\(\forall a,b \in V, \forall k \in F\) 有

• \(\mathfrak{A}a+\mathfrak{A}b=\mathfrak{A}(a+b)\)

• \(k\mathfrak{A}a=\mathfrak{A}(ka)\)

我们就说这个映射关系 \(\mathfrak{A}\) 是一个线性映射

投影

有式子 \(U\oplus W=V\)

设 \(\forall a \in V, a = a_1 + a_2, a_1 \in U, a_2 \in W\)

\(V\) 沿 \(W\) 向 \(U\) 的投影记作 \(P_u: V \rightarrow U, a\mapsto a_1\)

在三维空间中一个一维直线投影到二维平面上就是将一维直线移动到于该点共线然后找到与二维平面的交点然后连接原点和交点的连线

线性映射的性质

加法的幺元映射完之后还是加法的幺元

线性相关组映射完之后还是线性相关组, 线性无关组映射完之后还是线性无关组

如果线性映射是双射, 其逆映射也是双射

\(e_1,...,e_n\) 是 \(V\) 的一组基, \(\mathfrak{A}:V\rightarrow W\)

\(\mathfrak{A}e_1,...,\mathfrak{A}e_n\)唯一确定 \(\mathfrak{A}\)

证明: \(\forall a \in V, a = \sum_{i=1}^nk_ie_i, \mathfrak{A}a = \sum_{k=1}^nk_i\mathfrak{A}e_i\)

用矩阵表示线性映射

有上边的性质支持我们可以用一个矩阵来表示一个线性映射

我们定义
\(x=\begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^nx_ie_i\)
就有

\[\mathfrak{A}x=\sum_{i=1}^nx_i\mathfrak{A}e_i=\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^ma_{j,i}e_j'=\sum_{j=1}^me_j'(\sum_{i=1}^nx_ia_{j,i}) \]

我们发现这后边就是一个矩阵乘法的形式，于是就有

\(\mathfrak{A}:F^n \rightarrow F^m\) 等价于 \(x\mapsto Ax\)

\[\begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,n}\\ ... & ... & ...\\ a_{m,1} & ... & a_{m,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1' \\ ... \\ x_m' \end{pmatrix}\]

其中 \(x_j'= \sum_{i=1}^nx_ia_{j,i}\)

线性映射的核与像

\(\mathfrak{A}:V \rightarrow W\)

核: \(Ker \mathfrak{A} := \{a\in V; \mathfrak{A}a=0 \}\)

像: \(Im \mathfrak{A} := \{a \in W; \exists b \in V, \mathfrak{A}b = a \}\)

例子: 投影 \(P_U\)

\(KerP_U=W, ImP_U=U\)

同构

对于一个线性映射 \(\mathfrak{A}:V \rightarrow W\)

如果 \(\mathfrak{A}\) 是双射, 就称 \(V\) 和 \(W\) 是同构的

例子: \(L/V\) 与 \(V^{\bot}\)

\(dimL/V=dimV^{\bot}=dimL-dimV\)

线性方程组

\[\begin{cases} a_{1,1}x_1 +...+a_{1,m}x_m=b_1 \\ ... \\ a_{n,1}x_1+...+a_{n,m}x_m=b_m \end{cases} \]

它可以写成一个矩阵乘法的形式

\[Ax=b \]

这个东西是一个线性映射

所以其实线性方程组可以理解成让我们求对于一个线性映射 有哪些向量 \(x\) 可以映射到向量 \(b\)

定义如果 \(b=0\) , 它叫做齐次线性方程组, 它的解集是不是 \(Ker\mathfrak{A}\)

定义如果 \(b \ne 0\) , 它叫做非齐次线性方程组, 它的解集就是一个特解加上它的核我们记作 \(\mathfrak{A}^{-1}b+Ker\mathfrak{A}\)