常用技巧：二分搜索
二分不仅是简单的一个查找工具，而且是一种类型题目的解体思路。困在了一道题上：求最大值的最小（大概是这种类型......）遇到这种情况应该考虑二分查找。先将可能的最大值列出来，对该数列排序，在该数列上进行二分，判断当前节点是否合适，由此求出最大值的最小值。
例题洛谷P1182、P1642，这里以P1642为例（二分+最短路）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m,b; int fee[10005],cfee[10005]; struct edge { int next,cost; }; vector<edge> edges[10005]; bool mark[10005]; struct node { int index; long long dis; bool operator <(const node &x) const { return x.dis<dis; } }; long long dis[10005]; priority_queue<node> q; bool check(int x) { if(fee[1]>x||fee[n]>x){ return false; } while(!q.empty()){ q.pop(); } for(int i=1;i<=n;i++){ if(fee[i]>x){ mark[i]=true; } else{ mark[i]=false; } dis[i]=0x7fffffffffffffff; } dis[1]=0; q.push((node){1,0}); while(!q.empty()){ node now=q.top(); q.pop(); if(mark[now.index]){ continue; } mark[now.index]=true; for(int i=0;i<edges[now.index].size();i++){ int next=edges[now.index][i].next; if(mark[next]){ continue; } int cost=edges[now.index][i].cost; if(dis[next]>now.dis+cost){ dis[next]=now.dis+cost; q.push((node){next,dis[next]}); } } } if(dis[n]<=b){ return true; } else{ return false; } } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&b); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&fee[i]); cfee[i]=fee[i]; edges[i].clear(); } while(m--){ int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); if(a==b){ continue; } edge temp; temp.next=b; temp.cost=c; edges[a].push_back(temp); temp.next=a; edges[b].push_back(temp); } sort(cfee+1,cfee+n+1); if(!check(cfee[n])){ printf("AFK\n"); return 0; } int l=1,r=n,ans=cfee[n]; while(l<=r){ int mid=(l+r)/2; if(check(cfee[mid])){ r=mid-1; ans=cfee[mid]; } else{ l=mid+1; } } printf("%d\n",ans); return 0; }
这类型题应该立马想到二分。难点主要在于怎么构建出二分数列以及怎么判断。
对于浮点数的二分查找，需要注意精度的问题。通常两种方法，第一种是为循环设置结束的最低精度，第二种是设定最大循环数（后者比较保险）。POJ1064，很多细节，需要时常看一下
//POJ1064 #include<stdio.h> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; #define eps 1e-10 int n,m; double len[10005]; bool judge(double mid){ int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ ans+=(int)(len[i]/mid); } return ans>=m; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); double l=0,r=0.0,ans; bool flag=false; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lf",&len[i]); r=max(r,len[i]); } for(int i=1;i<=100;i++){ double mid=(l+r)/2; if(judge(mid)){ l=mid; flag=true; ans=mid; } else{ r=mid; } } if(flag) printf("%.2f\n",floor(ans*100)/100); else printf("0.00\n"); return 0; }
除了上面提到的最大化最小值问题，类似的还有最大化平均值。【有n个物品的重量和价值分别为wi和vi，从中选出k个物品使得单位重量的价值最大】不是简单的贪心，在这里是要求总价值/总重量。这种情况可以二分，判断当前的单位重量价值有没有可能用前k个物品来实现。POJ3111
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int n,k,ans[100005]; struct item{ int loc; double value,weight,tmp; bool operator <(const item &A) const{ return tmp>A.tmp; } }items[100005]; bool judge(double x){ for(int i=1;i<=n;i++){ items[i].tmp=items[i].value-x*items[i].weight; } sort(items+1,items+n+1); double sum=0; for(int i=1;i<=k;i++){ sum+=items[i].tmp; ans[i]=items[i].loc; } return sum>=0; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lf%lf",&items[i].value,&items[i].weight); items[i].loc=i; } double l=0,r=10000005; for(int i=1;i<=100;i++){ double mid=(l+r)/2; if(judge(mid)) l=mid; else r=mid; } for(int i=1;i<=k;i++){ if(i!=1) printf(" "); printf("%d",ans[i]); } return 0; }
推荐题目：求第m个大的数，POJ3685。比较好想，代码不贴了
POJ2010，因为最后结果只与中位数成绩有关与其他成绩无关，那么对每个成绩进行记录比他小的成绩里最小的(n-1)/2个f的和，以及比他大的成绩里最小的(n-1)/2个f的和。最后二分就行
#include<stdio.h> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; int n,c,f,h,left[100005],right[100005],ans; struct cow{ int s,f; bool operator < (const cow &x) const{ return s<x.s; } }cows[100005]; priority_queue<int> que; int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&c,&f); for(int i=1;i<=c;i++){ scanf("%d%d",&cows[i].s,&cows[i].f); } sort(cows+1,cows+c+1); h=(n-1)/2; int sum=0; while(!que.empty()) que.pop(); for(int i=1;i<=c;i++){ left[i]=sum; if(i<=h){ sum+=cows[i].f; que.push(cows[i].f); } else{ if(cows[i].f<que.top()){ sum-=que.top(); que.pop(); que.push(cows[i].f); sum+=cows[i].f; } } } sum=0; while(!que.empty()) que.pop(); for(int i=c;i>=1;i--){ right[i]=sum; if(c-i+1<=h){ sum+=cows[i].f; que.push(cows[i].f); } else{ if(cows[i].f<que.top()){ sum-=que.top(); que.pop(); que.push(cows[i].f); sum+=cows[i].f; } } } bool flag=false; for(int i=c-h;i>=h+1;i--){ if(left[i]+cows[i].f+right[i]<=f){ flag=true; printf("%d\n",cows[i].s); return 0; } } if(!flag) printf("-1\n"); }
