[51nod1310]Chandrima and XOR

　　有这样一个小到大排列的无穷序列S：1, 2, 4, 5, 8......，其中任何一个数转为2进制不包括2个连续的1。给出一个长度为N的正整数数组A，A1, A2......An记录的是下标（下标从1开始）。求S[A1] Xor S[A2] Xor S[A3] ..... Xor S[An]的结果（Xor 为异或运算），由于该数很大，输出Mod 1000000007的结果。

　　例如：A = {1, 2, 3}，对应S[1] = 1, S[2] = 2, S[3] = 4。1 Xor 2 Xor 4 = 7。
　Input
　　第1行：1个数N，表示数组A的长度(1 <= N <= 50000)。
　　第2 - N + 1行：每行一个数，对应数组A的元素A[i]（1 <= A[i] <= 10^18)。
　Output
　　输出一个数，S[A1] Xor S[A2] Xor S[A3] ..... Xor S[An]的结果Mod 1000000007。

 

 

　　完全不会搞只能膜题解系列。

实际上这道题可以通过O((logn)^2)的时间推出任意一项。

我们以每一个2的整数次方作为分割点，把这个数列分割成很多块。设F(n)为2^n到2^(n+1)之间的所有满足要求的数字（不包括2^(n+1)）。因为二进制中不能有连续的0，所以F(n)=sigma{F(k)|0<=k<=n-2}+1，又知F(n-1)=sigma{F(k)|0<=k<=n-3}+1，可得F(n)=F(n-2)+F(n-1)-1+1=F(n-1)+F(n-2)，因此结论：

有1个数在[1,2)，1个数在[2,4)，2个数在[4,8)，3个数在[8,16)…………

而每次可以用二分查找来确定a的位置在2^m和2^(m+1)之间，a减去[1,2^m]之间所有数的个数，重新递归查找。。。（注意减去的是闭区间！）递归深度不会超过logn，因为它是按斐波那契数列的和递减的。每一次递归的m位置异或1，最后会得到一个01数组，按照进制转换然后求模就行了。。

一共有n个数，对于每一次查找的复杂度是O((logn)^2)，总复杂度不会达到O(n(logn)^2)。

　　讲道理那个查找是一个log的....

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<bitset>
//#include<ctime>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ui unsigned int
#define d double
//#define ld long double
using namespace std;
const int maxn=233,modd=1000000007;
ll pre[maxn],f[maxn],two[maxn];
int i,j,k,n,m,MX;
bool u[90];

int ra,fh;char rx;
inline int read(){
    rx=getchar(),ra=0,fh=1;
    while((rx<'0'||rx>'9')&&rx!='-')rx=getchar();
    if(rx=='-')fh=-1,rx=getchar();
    while(rx>='0'&&rx<='9')ra=ra*10+rx-48,rx=getchar();return ra*fh;
}

inline int get(ll x){
    int i;
    for(i=MX;i>0&&x>1;i--)if(x<=pre[i]&&x>pre[i-1])x-=pre[i-1]+1,u[i]^=1,i--;//,printf("   %d\n",i);
    u[0]^=x>0;
}
int main(){
    f[0]=f[1]=1,two[0]=pre[0]=1,two[1]=pre[1]=2;
    for(i=2;i<=233;i++){
        f[i]=f[i-2]+f[i-1],two[i]=(two[i-1]<<1)%modd,
        pre[i]=pre[i-1]+f[i];
        if(pre[i]>1e18)break;
    }MX=i;
    
    n=read();ll a;int ans=0;
//    for(i=1;i<=233;i++)printf("   %d\n",get(i,MX));
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a),get(a);
    for(i=0;i<=MX;i++)if(u[i])(ans+=two[i])%=modd;
    printf("%d\n",ans);
}