基础题目
超级基础的题
虽然是数学，但是仍以 \(OI\) 的题为例，毕竟 \(OI\) 的组合计数题还是很高质的，但别担心，组合计数主要是数学推导，所以文中的题仅会推导数学的理论知识或公式，不会有代码实现。但为了方便，还是会把题目链接放出来。
注：不是 \(OIer\) 的就不必在意题目的数据范围了，以及题里的取模也不用管
高中生就会
luogu P8557 炼金术（Alchemy）
题目描述
铃是一个爱玩游戏的女孩子。
她在游戏中想要炼制一种稀有合金 —— 这需要 n 种金属来合成。
她准备好矿石后建造了 k 个不同的熔炉，当熔炉启动时，会随机炼出这 n 种金属中的一些（也可能什么都没有）。
如果把每个熔炉炼出的金属收集起来，有了全部 n 种金属，就能造出合金了。澪对此很好奇，对铃说：「我考考你，有多少种情况可以炼出合金呢？」这个简单的问题铃很快就会做了，你能求出结果吗？
答案可能很大，请对 998244353 取模（即除以 998244353 的余数）后输出。
作者很懒，不想形式化题意了，相信聪明的你们有一定能看懂的
思路：
合法方案就是要求每种矿石至少在一个熔炉里被冶炼，那么，我们可以把 每个熔炉看成 元素，每种矿石看成一个集合，某种矿石在哪几个熔炉里冶炼，那么这个集合里就有哪几个元素，所以，我们只许让每个集合 非空，方案就是 合法 的，所以对于每种矿石，它的非空子集就有 \(2^k-1\) 种，\(n\) 种矿石就是 \(n\) 个 \(2^k-1\) 相乘，即 \((2^k-1)^n\) 种方案。
对 \(OIer\) 说：
代码实现直接敲个快速幂就好了，公式都给你了，不能不会了吧，记得取模！
luogu P3197 [HNOI2008] 越狱
题目描述
监狱有 n 个房间，每个房间关押一个犯人，有 m 种宗教，每个犯人会信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。
答案对 100,003 取模。
思路：
正难则反：可能发生越狱的方案数 \(=\) 总方案数 \(-\) 不可能发生越狱的方案数
总方案数 很好求，每个房间都有 \(m\) 种宗教可以信仰，\(n\) 个房间就是 \(m^n\) 种方案数
不可能发生越狱的方案数：就是任意相邻的房间的信仰的宗教不同，其实只要保证，每一间房间都和前一间房间的信仰不同，就可以了：第 \(1\) 间房间可以信仰 \(m\) 种宗教；第 \(2\) 间为了跟第 \(1\) 间的信仰不同，只有 \(m-1\) 种宗教可以信仰；第 \(3\) 间只需跟第 \(2\) 间不同即可，也有 \(m-1\) 种宗教可以信仰；第 \(4，5，6...n\) 间，都有 \(m-1\) 种宗教可以信仰，根据 乘法原理，把 \(n\) 间房间的各可信仰数相乘即可：\(m(m-1)^{n-1}\)
所以答案是：\(m^n-m(m-1)^{n-1}\)
对 \(OIer\) 说：
依旧是快速幂加个取模就可以了
错排数：
介绍：
错排列问题是组合数学中的一个经典问题，指的是将n个元素重新排列，使得每个元素都不在原来的位置上。错排列数记为D(n)，即n个元素的错排列数。这个问题最早由尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此也称为伯努利-欧拉的装错信封问题。
人话就是，给了一个 \(n\)，然后求 \(1\) ~ \(n\) 的所有排列里，每个数字和当前排列下其对应的下标不同的方案数。
\(eg.\) \(n=3：\)
\(2_1，3_2，1_3\)
\(3_1，1_2，2_3\)
就是错排列，右下角的数字就是下标，所以，\(D(3)=2\)
然后，不难发现，\(D(1)=0，D(2)=1，D(3)=2\)，这是错排数的前几项
接着推导 \(D(n)\) 的递推式：
\(n\) 个数错排，我们先考虑其中一个数 \(a\)，根据定义，这个数不能在其数值所对应的下标 \(a\) 上（就是如果是数字 \(2\)，在这个排列里就不能放在下标为 \(2\) 的位置），那么，它可以去侵占其他 \(n-1\) 个数的位置
继续考虑，如果这个数 \(a\) 侵占了其他的 \(n-1\) 个数中的某个数 \(b\) 的位置，那么 \(b\) 可以放到哪里？
有两种选择：一种是反过来偷家，即把 \(b\) 放到 \(a\) 原本正确的位置（就是放到下标为 \(a\) 的位置上），方案数就是 \(D_{n-2}\)
另一种选择：\(b\) 去侵占另外的其他 \(n-2\) 个数的位置，方案数就是算上 \(b\) 的那 \(n-1\) 个数的错排数，为 \(D_{n-1}\)
所以，\(a\) 侵占其他 \(n-1\) 个数中的某一个数的位置的方案数就是 \(D_{n-1}+D_{n-2}\)，有 \(n-1\) 个数可以选择侵占，所以 \(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)
完美的递推式子，当然，还有一个直接计算公式：
这我就不想证了，感兴趣的话自己去看看吧，问题是这玩意的复杂度也是 \(O(n)\) 的，还不如线性递推，同样 \(O(n)\) 还能把 \(D_{1\sim n}\) 都求出来，不过，这玩意让我想到了一位故式：欧拉函数 \(\phi_n\) 的直接计算式：
\(\phi_n=n(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})(1-\dfrac{1}{p_3})...(1-\dfrac{1}{p_k})\) 其中，\(p_i\) 为 \(n\) 的质因子
额，扯远了，这是数论里的，别来我们组合计数里凑热闹
好了，前置知识说完了，看题吧：
luogu P4071 [SDOI2016] 排列计数
题目描述
求有多少种 1 到 n 的排列 a，满足序列恰好有 m 个位置 i，使得 \(a_i=i\)。
答案对 \(10^9+7\) 取模。
思路：
就相当于，从 \(n\) 个数里先选 \(m\) 个数，让它们的位置正确，然后剩下 \(n-m\) 个数错排就好了，从 \(n\) 个数里选 \(m\) 个数，有 \(C_{n}^{m}\) 种选择，每种对应的方案数都是剩下 \(n-m\) 个数的错排数 ：\(D_{n-m}\)
所以答案：
可能会有人说了：\(C_{n}^{m}\) 我还能算，但是 \(D_{n-m}\) 是个什么鬼，但是，别忘了，这是 \(OI\) 题，我们是可以用计算机递推出 \(D_{n-m}\) 的，所以我们就表示成这样了
对 \(OIer\) 说：
本题每个测试样例有 \(T（T\le 5e5）\) 组数据，且 \(1\le n\le1e6\)，\(0\le m\le 1e6\)，得 \(O(n)\) 预处理 \(1\sim n\) 的阶乘并 \(O(nlogM)\) 处理其逆元（其中 \(M\) 是模数 \(1e9+7\)），还有 \(O(n)\) 处理错排数 \(D_{1\sim n}\)
Catalan 数
介绍：
卡特兰数（Catalan数）是组合数学中一个常见的数列，通常用于解决各种计数问题。其定义为：第 \(n\) 个卡特兰数 \(C_n\) 可以通过公式计算：\(C_n = \dfrac{(2n)!}{n!(n + 1)!}\)。卡特兰数的前几项为\(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430\)等。它们在许多领域中有实际应用，包括出栈次序、括号序列等问题。
好了，这是我从网上粘来的，看不看吧，直接从例题里看：
luogu P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈
相信就算不是 \(OIer\) 应该也见过这种题（反正我初二的时候有次数竞卷子上就有这选择题），很经典的 \(Calatan\) 数
题目背景
栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。
栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。
栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。
题目描述
宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,…,n（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 n。
现在可以进行两种操作，
将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）
使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。
原始状态如上图所示）
你的程序将对给定的 n，计算并输出由操作数序列 1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。
直接把洛谷的原题粘过来了，以这道题为例，介绍 \(Catalan\) 数：
这里转换一下，我们把 入栈 记为 \(+1\)，出栈 记为 \(-1\)，所以一种合法的操作序列就要求：该序列的任意前缀和都不小于零
\(eg.\) 当 \(n=3\) 时，合法的操作序列是：
\(+1，+1，+1，-1，-1，-1\)
\(+1，+1，-1，+1，-1，-1\)
\(+1，+1，-1，-1，+1，-1\)
\(+1，-1，+1，+1，-1，-1\)
\(+1，-1，+1，-1，+1，-1\)
如果有一个序列是：\(+1，+1，-1，-1，-1，+1\)
那么就是非法的，因为下标为 \(5\)（下标从 \(1\) 开始）时，前缀和为：\(+1+1-1-1-1=-1 < 0\)
带入本题实际意义就是：先连续入栈了 \(2\) 个元素，但又要连续出栈 \(3\) 个元素，不难发现出栈之前，栈里的元素不够 \(3\) 个，所以没办法再连续出栈第 \(3\) 个元素，然后序列就非法了
接着是几何意义：
我们以 \((0,0)\) 为起点，操作序列中每出现一个 \(+1\)，就向 右移动一个单位，每出现一个 \(-1\)，就 向上移动一个单位。所以，一种合法操作序列就要求：无论何时，点都不能移动到超过 \(y=x\) 这条对角线的位置
仍以 \(n=3\) 为例，就是要求从 \((0,0)\) 移动到 \((3,3)\) 这个点且不会有超过对角线部分 的路径数，图中的绿色路径就是一种合法的，它所对应的操作序列是：\(+1，-1，-1，+1，+1，-1\)
而下面这个图中的蓝色路径就对应了一种不合法的序列：\(+1，+1，-1，-1，-1，+1\)
从这个图里，我们知道了，只要路径有一段超过边界就不合法，哪怕它后来回到了边界一下，上图中点 \(F\) 就已经超过了边界，就算到点 \(G\) 时，回到了边界之下，也是不合法的
好了，这就是几何意义，详细的例子还有：
好了，介绍完基础问题了，接着说怎么做：
先求出 总路径数：就是从 \(n\) 个 \(+1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) ，一共 \(2n\) 个数里选 \(n\) 个位置放 \(+1\)（或者选 \(n\) 个位置放 \(-1\)），所以有 \(C_{2n}^{n}\) 种总方案数
接着，不合法的方案数：
这里有很巧妙的转换法，以图辅助理解:
图中，蓝色路径是原路径，可以看出来是不合法的，此时，我们把超出边界以上的第一个点（即 \(F\)）之后的路径（即 \(FG-GC\)）对称到上面，即橙色部分（即 \(FH-HI\)），然后，我们发现，此时新的路径的终点变成了 \((n-1,n+1)\)。事实上，所有不合法的路径对可以由对称变换为起点为 \((0,0)\)，终点为 \((n-1,n+1)\) 的一条路径，且数量就是从 \((0,0)\) 到 \((n-1,n+1)\) 的路径数，所以为 \(C_{2n}^{n+1}\)（当然也可以是 \(C_{2n}^{n-1}\)，由组合数的性质，这两个是相等的）
所以最后的答案即为：\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}\)
这就是 \(Catalan\) 数第 \(n\) 项的公式，即 \(Cat_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}\)
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